Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. التعريف والأشكال

تعريف

مجموعة الأعداد المركبة $C$ تحتوي على عنصر $i$ بحيث $i^{2} = - 1$ . كل عدد مركب $z$ يُكتب:

$z = a + ib, a, b \in R$

$a = Re (z)$ : الجزء الحقيقي
$b = Im (z)$ : الجزء التخيلي

المرافق

$\overset{z}{ˉ} = a - ib$ . الخصائص:

$\overline{z + z^{'}} = \overset{z}{ˉ} + \overset{ˉ}{z^{'}}$
$\overline{z z^{'}} = \overset{z}{ˉ} \cdot \overset{ˉ}{z^{'}}$
$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z)$
$z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$

II. المعيار والعمدة

المعيار

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ . الخصائص:

$∣ z ∣ \geq 0$ ، $∣ z ∣ = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣∣ z^{'} ∣$
$∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$
$∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ (متراجحة المثلث)

العمدة

إذا كان $z \neq = 0$ ، نرمز $ar g (z) = θ$ بحيث $z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ)$ .

III. الشكل المثلثي والأسي

$z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ حيث $r = ∣ z ∣$ و $θ = ar g (z)$ .

الحسابات في الشكل الأسي

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (صيغة موافر)

IV. المعادلات من الدرجة الثانية

بالنسبة لـ $a z^{2} + b z + c = 0$ حيث $a, b, c$ أعداد حقيقية:

المميز $Δ = b^{2} - 4 a c$
إذا كان $Δ > 0$ : حلان حقيقيان $z = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
إذا كان $Δ = 0$ : حل مضاعف واحد $z = - \frac{b}{2 a}$
إذا كان $Δ < 0$ : حلان مركبان مرافقان $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

V. التمثيل الهندسي

$z = a + ib$ يقابل النقطة $M (a, b)$ في المستوى المركب.

$∣ z ∣ = O M$ (المسافة إلى الأصل)
$ar g (z) = (i, O M)$
$∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B$
$ar g (z_{B} - z_{A}) = (i, A B)$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: ليكن $z = 1 + i 3$ .
1) احسب $∣ z ∣$ و $ar g (z)$ .
2) اكتب $z$ في الشكل الأسي.
3) استنتج $z^{6}$ .

الحل:

1) $∣ z ∣ = 1 + 3 = 2$ .
$cos θ = \frac{1}{2}$ ، $sin θ = \frac{3}{2}$ ← $θ = \frac{π}{3}$ .

2) $z = 2 e^{iπ /3}$ .

3) $z^{6} = 2^{6} e^{i 6 π /3} = 64 e^{i 2 π} = 64 \cdot 1 = 64$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين $∣ z ∣$ و $∣ z ∣^{2}$ .
نسيان الجذر التربيعي في المعيار.
$ar g (z)$ معرف بموديلو $2 π$ . عدة قيم متكافئة.
عندما $Δ < 0$ ، كتابة $Δ$ . يجب كتابة $i - Δ$ .
الخلط بين $\overset{z}{ˉ}$ (المرافق) و $- z$ (المعاكس).

📈 Figure clé

Image de

z = a + ib

dans le plan complexe

🔑 Formules clés à retenir

الأشكال:

جبري: $z = a + ib$
مثلثي: $z = r (cos θ + i sin θ)$
أسي: $z = r e^{i θ}$

المعيار: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

المرافق: $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ ، $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$

الحسابات في الشكل الأسي:

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (موافر)

المعادلة $a z^{2} + b z + c = 0$ ( $Δ < 0$ ):

$z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 لحساب القوى $z^{n}$ : الانتقال إلى الشكل الأسي، ضرب العمدة في $n$ .
🎯 للتحقق من العمدة: يجب أن يكون الجيب وجيب التمام متسقين (نفس إشارات مركبات العدد).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الأعداد المركبة

النوع 1 : الانتقال بين الشكل الجبري، المثلثي والأسي

متى ؟ يُعطى $z = a + ib$ ونريد $z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ ، أو العكس.

احسب المعيار $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
أوجد عمدة $θ$ بحيث $cos θ = \frac{a}{r}$ و $sin θ = \frac{b}{r}$ .
اكتب $z = r e^{i θ}$ (الشكل الأسي) أو $z = r (cos θ + i sin θ)$ .
للعودة إلى الشكل الجبري : $a = r cos θ$ ، $b = r sin θ$ .

مثال سريع : $z = 1 + i$ : $r = 2$ ، $θ = \frac{π}{4}$ ، إذن $z = 2 e^{iπ /4}$ .

النوع 2 : حساب معيار وعمدة جداء أو خارج قسمة

متى ؟ نريد $∣ z_{1} z_{2} ∣$ ، $ar g (z_{1} z_{2})$ ، أو تبسيط $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ، أو حساب $z^{n}$ .

ضع $z_{1}$ و $z_{2}$ في الشكل الأسي $r_{1} e^{i θ_{1}}$ ، $r_{2} e^{i θ_{2}}$ .
الجداء : $∣ z_{1} z_{2} ∣ = r_{1} r_{2}$ و $ar g (z_{1} z_{2}) = θ_{1} + θ_{2} [2 π]$ .
خارج القسمة : $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}}$ و $ar g = θ_{1} - θ_{2} [2 π]$ .
القوة (موافر) : $z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ .

مثال سريع : $z = 2 e^{iπ /4}$ يعطي $z^{4} = (2)^{4} e^{iπ} = 4 \cdot (- 1) = - 4$ .

النوع 3 : حل معادلة من الدرجة الثانية في $C$

متى ؟ لدينا $a z^{2} + b z + c = 0$ بمعاملات حقيقية مع مميز سالب.

احسب $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا $Δ < 0$ : الجذور هي $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ ، مركبتان مترافقتان.
إذا $Δ \geq 0$ : الجذور الحقيقية المعتادة.
تحقق بالمجموع $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ والجداء $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ .

مثال سريع : $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ : $Δ = 4 - 20 = - 16$ ، إذن $z = \frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$ .

النوع 4 : استعمال صيغة موافر وصيغ أويلر

متى ؟ نريد خطية $cos^{n} θ$ ، أو التعبير عن $cos (n θ)$ بدلالة $cos θ$ .

أويلر : $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ و $sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ .
موافر : $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ .
للخطية : عوض بصيغة أويلر، انشر، ثم اجمع الأسيات المترافقة.
من أجل $cos (n θ)$ : انشر موافر بذات الحدين وحدد الجزء الحقيقي.

مثال سريع : $cos^{2} θ = (\frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2})^{2} = \frac{1}{4} (e^{2 i θ} + 2 + e^{- 2 i θ}) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}$ .

النوع 5 : التفسير الهندسي (اللواحق، المسافات، الزوايا)

متى ؟ نشتغل مع نقط $A$ ، $B$ ، $C$ بلواحق $z_{A}$ ، $z_{B}$ ، $z_{C}$ ونريد المسافات، الاستقامة، طبيعة مثلث.

المسافة : $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
الزاوية : $(C A, C B) = ar g (\frac{z _{B} - z _{C}}{z _{A} - z _{C}}) [2 π]$ .
الاستقامة : $A$ ، $B$ ، $C$ مستقيمة $\Leftrightarrow \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ .
التعامد : هذا الخارج عدد تخيلي محض. مثلث متساوي الأضلاع / قائم : قارن المعايير والعمد.

مثال سريع : إذا $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i$ فإن $A C = A B$ والزاوية في $A$ تساوي $\frac{π}{2}$ : مثلث قائم متساوي الساقين في $A$ .

النوع 6 : تحويلات المستوى (الإزاحة، الدوران، التحاكي)

متى ؟ تُعطى كتابة مركبة $z^{'} = a z + b$ ونريد التعرف على التحويل المرتبط.

إذا $a = 1$ : إزاحة بمتجهة لاحقتها $b$ .
إذا $a \in R^{*}$ ، $a \neq = 1$ : تحاك بنسبة $a$ ؛ المركز $Ω$ لاحقته $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
إذا $∣ a ∣ = 1$ ، $a \neq = 1$ : دوران بزاوية $ar g (a)$ ؛ المركز $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
الحالة العامة $∣ a ∣ \neq = 1$ و $a \in / R$ : تشابه (نسبة $∣ a ∣$ ، زاوية $ar g a$ ).

مثال سريع : $z^{'} = i z + 2$ : $∣ i ∣ = 1$ إذن دوران بزاوية $\frac{π}{2}$ ، المركز $ω = \frac{2}{1 - i} = 1 + i$ .

Nombres complexes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Affixe d'un point et d'un vecteur

Facile

Énoncé

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_{A} = 2 - 3 i$ et $z_{B} = - 1 + i$ .

1) Donner l'affixe du vecteur $A B$ .
2) En déduire la distance $A B$ .

Ma réponse

Nombres complexes

Nombres complexes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. التعريف والأشكال

تعريف

المرافق

II. المعيار والعمدة

المعيار

العمدة

III. الشكل المثلثي والأسي

الحسابات في الشكل الأسي

IV. المعادلات من الدرجة الثانية

V. التمثيل الهندسي

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الأعداد المركبة

النوع 1 : الانتقال بين الشكل الجبري، المثلثي والأسي

النوع 2 : حساب معيار وعمدة جداء أو خارج قسمة

النوع 3 : حل معادلة من الدرجة الثانية في C

النوع 4 : استعمال صيغة موافر وصيغ أويلر

النوع 5 : التفسير الهندسي (اللواحق، المسافات، الزوايا)

النوع 6 : تحويلات المستوى (الإزاحة، الدوران، التحاكي)

Nombres complexes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Affixe d'un point et d'un vecteur

Affixe du milieu d'un segment

Calcul de distances entre deux points

Module et argument

Puissance de $i$

Division complexe

Opérations algébriques

Module d'un produit

Opérations sur les complexes

Forme algébrique du conjugué

Conjugué et module

Opérations algébriques

Conjugué d'un complexe

De l'exponentielle à l'algébrique

Division par le conjugué

Équation $z^2 + 9 = 0$

Forme exponentielle de $\\sqrt{3}+i$

Forme trigonométrique de $-2i$

Module d'un complexe

Module et argument de $1+i$

Forme algébrique : somme, produit, conjugué

Module et inverse d'un complexe

Parties réelle et imaginaire d'une somme

Produit de deux complexes

Reconnaître un cercle

Triangle isocèle par les modules

Exercices Intermédiaires

Carré d'un complexe

Cercle après mise sous forme canonique

Affixe d'un milieu

Module et argument

Forme exponentielle de $1 - i$

Équation 2nd degré complexe

Équation du second degré

Forme exponentielle

Lieu : médiatrice

Forme exponentielle

Formule de Moivre

Condition pour un imaginaire pur

Équation $2z^2 - 2z + 1 = 0$

Équation $z^2 - 2z + 5 = 0$

Équation $z^2 + z + 1 = 0$

Forme trigonométrique de $-1-i$

Médiatrice via les modules

Module d'un quotient

Nature d'un triangle équilatéral

Forme trigonométrique

Équation du second degré dans ℂ

Partie réelle d'un quotient

Produit et forme exponentielle

النوع 3 : حل معادلة من الدرجة الثانية في $C$