Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير (المتتاليات الحسابية والهندسية)

	حسابية	هندسية
الأساس	$r$ (نضيف)	$q$ (نضرب)
التكرار	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
الحد العام	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} q^{n}$
المجموع	$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$	$S_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (إذا $q \neq = 1$ )

II. تقارب متتالية

تعريف

$(u_{n})$ تتقارب نحو $ℓ$ إذا كان $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ (نهاية منتهية).
وإلا، نقول أن $(u_{n})$ تتباعد.

حالة خاصة: المتتاليات الهندسية

إذا $∣ q ∣ < 1$ : $lim q^{n} = 0$ ، إذن $u_{n} = u_{0} q^{n} \to 0$
إذا $q = 1$ : $u_{n} = u_{0}$ (ثابتة)
إذا $q > 1$ : $lim q^{n} = + \infty$ ← تتباعد
إذا $q \leq - 1$ : لا توجد نهاية (تتذبذب)

III. مبرهنات التقارب

مبرهنة التقارب الرتيب

كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى تتقارب.
كل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل تتقارب.

مبرهنة الحصر

إذا $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ و $lim v_{n} = lim w_{n} = ℓ$ ، فإن $lim u_{n} = ℓ$ .

IV. المتتاليات التكرارية $u_{n + 1} = f (u_{n})$

الطريقة القياسية

إثبات بالتراجع أن $u_{n} \in I$ (مجال مستقر بواسطة $f$ )
دراسة اتجاه تغير $(u_{n})$ : مقارنة $u_{1}$ و $u_{0}$ ، ثم الاستنتاج
إذا متزايدة + محدودة من الأعلى أو متناقصة + محدودة من الأسفل ← تقارب
إذا $(u_{n})$ تتقارب نحو $ℓ$ و $f$ مستمرة: $ℓ = f (ℓ)$

V. البرهان بالتراجع

المبدأ

لإثبات أن خاصية $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$ :

التهيئة: التحقق من $P (n_{0})$
الانتقال: افتراض $P (n)$ صحيحة وإثبات $P (n + 1)$
الخلاصة: بمبدأ التراجع، $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $(u_{n})$ معرفة بـ $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .
1) أثبت بالتراجع أن $u_{n} < 6$ لكل $n$ .
2) أثبت أن $(u_{n})$ متزايدة.
3) استنتج أنها تتقارب وأوجد نهايتها.

الحل:

1) التهيئة: $u_{0} = 1 < 6$ ✓.
الانتقال: لنفترض $u_{n} < 6$ . إذن $\frac{u _{n}}{2} < 3$ ، و $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3 < 3 + 3 = 6$ ✓.
إذن $u_{n} < 6$ لكل $n$ .

2) $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n}}{2} + 3 - u_{n} = 3 - \frac{u _{n}}{2} > 0$ لأن $u_{n} < 6$ .
إذن $(u_{n})$ متزايدة.

3) متزايدة ومحدودة من الأعلى ← تتقارب نحو $ℓ$ .
بالاستمرارية: $ℓ = \frac{ℓ}{2} + 3 \Rightarrow \frac{ℓ}{2} = 3 \Rightarrow ℓ = 6$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

نسيان التهيئة في البرهان بالتراجع.
الاعتقاد أن $u_{n}$ محدودة ⇐ $u_{n}$ تتقارب. خطأ (مثال: $u_{n} = (- 1)^{n}$ ).
الاستنتاج $ℓ = f (ℓ)$ دون تبرير الاستمرارية.
نسيان أنه إذا $∣ q ∣ < 1$ ، فإن $q^{n} \to 0$ (حالة المتتالية الهندسية).
الاعتقاد أن $u_{n} \to ℓ \Rightarrow u_{n}$ تصل إلى $ℓ$ . ليس بالضرورة.

📈 Figure clé

Suite arithmétique

u_{n} = 2 + 3 n

🔑 Formules clés à retenir

التقارب : $lim u_{n} = ℓ$ (منتهية)

المتتالية الهندسية :

$∣ q ∣ < 1$ : $u_{n} \to 0$
$∣ q ∣ > 1$ : $u_{n} \to \pm \infty$

التقارب الرتيب :

متزايدة + محدودة من الأعلى ← تتقارب

الحصر : $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ ، $v, w \to ℓ$

$\Rightarrow u_{n} \to ℓ$

التكرار :

$u_{n + 1} = f (u_{n})$ ، $u_{n} \to ℓ$ ، $f$ مستمرة

$\Rightarrow ℓ = f (ℓ)$

البرهان بالتراجع : تهيئة + انتقال + خلاصة

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 للتقارب: متزايدة + محدودة من الأعلى أو متناقصة + محدودة من الأسفل. هذه هي الطريقة القياسية.
🎯 حيلة لإيجاد $ℓ$ : حل $ℓ = f (ℓ)$ قبل إثبات التقارب. ستحصل على النهاية المرشحة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المتتاليات العددية

النوع 1: إثبات خاصية بالاستدلال بالتراجع

متى؟ خاصية $P (n)$ تعتمد على $n$ (متباينة، صيغة صريحة، قابلية للقسمة) وتريد إثباتها لكل $n$ .

التهيئة: تحقق من $P (n_{0})$ للرتبة الأولى (غالباً $n_{0} = 0$ أو $1$ ).
الانتقال: افترض أن $P (n)$ صحيحة لـ $n$ عشوائي (فرضية التراجع).
أثبت أن $P (n + 1)$ صحيحة انطلاقاً من الفرضية وباستعمال العلاقة $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .
الخلاصة: «بالاستدلال بالتراجع، $P (n)$ صحيحة لكل $n \geq n_{0}$ .»

مثال سريع: إذا كان $u_{0} = 2$ و $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{2}$ ، نثبت أن $u_{n} > 1$ : $P (0)$ : $u_{0} = 2 > 1$ صحيح؛ إذا كان $u_{n} > 1$ فإن $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{2} > \frac{1 + 1}{2} = 1$ .

النوع 2: دراسة رتابة متتالية

متى؟ يُطلب منك إثبات أن متتالية متزايدة أو متناقصة أو ثابتة.

طريقة إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ : احسب الفرق وادرس إشارته.
طريقة الحاصل: إذا كانت جميع الحدود $> 0$ ، قارن $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ بـ $1$ .
طريقة الدالة: إذا كان $u_{n} = f (n)$ ، ادرس اتجاه تغير $f$ على $[n_{0}; + \infty [$ .
استنتج: متزايدة إذا كان $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ ، متناقصة إذا كان $\leq 0$ .

مثال سريع: $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ ، إذن $(u_{n})$ متزايدة.

النوع 3: التعرف على متتالية حسابية أو هندسية

متى؟ تُعطى لك علاقة تراجعية ويجب تحديد طبيعة المتتالية ثم حساب مجموع.

حسابية: إذا كان $u_{n + 1} - u_{n} = r$ ثابت. الحد العام $u_{n} = u_{0} + n r$ . المجموع $S = \frac{( عدد الحدود ) ( الأول + الأخير )}{2}$ .
هندسية: إذا كان $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ ثابت. الحد العام $u_{n} = u_{0} q^{n}$ . المجموع $S = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ لـ $q \neq = 1$ .
حدد الحد الأول، الأساس، ثم طبق صيغة الحد العام.
لحساب مجموع، عُدّ بدقة عدد الحدود.

مثال سريع: $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ مع $v_{0} = 2$ : هندسية أساسها $q = 3$ ، إذن $v_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ و $k = 0 \sum n v_{k} = 2 \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2} = 3^{n + 1} - 1$ .

النوع 4: متتالية مساعدة للرجوع إلى متتالية هندسية

متى؟ العلاقة من الشكل $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ (مع $a \neq = 1$ )؛ نضع متتالية $v_{n}$ تكون هي هندسية.

ابحث عن النقطة الثابتة $ℓ$ حل $ℓ = a ℓ + b$ ، أي $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .
ضع $v_{n} = u_{n} - ℓ$ : أثبت أن $v_{n + 1} = a v_{n}$ ، إذن $(v_{n})$ هندسية أساسها $a$ .
عبّر عن $v_{n} = v_{0} a^{n}$ ثم ارجع إلى $u_{n} = v_{n} + ℓ$ .
استنتج الحد العام والنهاية المحتملة.

مثال سريع: $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ : نقطة ثابتة $ℓ = 6$ ؛ $v_{n} = u_{n} - 6$ تحقق $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}$ ، إذن $u_{n} = 6 + (u_{0} - 6) (\frac{1}{2})^{n}$ .

النوع 5: دراسة التقارب وحساب نهاية

متى؟ يُطلب منك معرفة إذا كانت المتتالية متقاربة وإلى أي قيمة.

متتالية رتيبة محدودة: إذا كانت متزايدة ومحدودة من الأعلى (أو متناقصة ومحدودة من الأسفل)، فهي متقاربة (مبرهنة التقارب الرتيب).
حصر / الشرطيين: إذا كان $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ مع $a_{n}$ و $b_{n}$ لهما نفس النهاية $ℓ$ ، فإن $u_{n} \to ℓ$ .
نهاية النقطة الثابتة: إذا كان $u_{n + 1} = f (u_{n})$ متقارب و $f$ مستمرة، فالنهاية $ℓ$ تحقق $ℓ = f (ℓ)$ .
للصيغ الصريحة، ارفع حالة عدم التعيين (تحليل، حد مهيمن).

مثال سريع: $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ متزايدة ومحدودة بـ $2$ إذن متقاربة؛ النهاية تحقق $ℓ = ℓ + 2$ ، ومنه $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ و $ℓ = 2$ .

النوع 6: متتاليات متجاورة

متى؟ متتاليتان $(u_{n})$ و $(v_{n})$ يبدو أنهما تتقاربان؛ نريد إثبات أنهما تتقاربان نحو نفس النهاية.

أثبت أن $(u_{n})$ متزايدة و $(v_{n})$ متناقصة (أو العكس).
أثبت أن $u_{n} - v_{n} \to 0$ .
استنتج: المتتاليتان متجاورتان، إذن تتقاربان نحو نفس النهاية $ℓ$ .
تحقق دائماً من الحصر $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ .

مثال سريع: $u_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ (متزايدة) و $v_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ (متناقصة) مع $v_{n} - u_{n} = \frac{2}{n} \to 0$ : متجاورتان، نهاية مشتركة $1$ .

Suites numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

Différence avec coefficient

Facile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = df r a c 12 u_{n}$ pour tout $n in ma t hbb N$ .

On admet que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . Déterminer le sens de variation de $(u_{n})$ à l'aide du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Ma réponse

Suites numériques

Suites numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير (المتتاليات الحسابية والهندسية)

II. تقارب متتالية

تعريف

حالة خاصة: المتتاليات الهندسية

III. مبرهنات التقارب

مبرهنة التقارب الرتيب

مبرهنة الحصر

IV. المتتاليات التكرارية un+1​=f(un​)

الطريقة القياسية

V. البرهان بالتراجع

المبدأ

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — المتتاليات العددية

النوع 1: إثبات خاصية بالاستدلال بالتراجع

النوع 2: دراسة رتابة متتالية

النوع 3: التعرف على متتالية حسابية أو هندسية

النوع 4: متتالية مساعدة للرجوع إلى متتالية هندسية

النوع 5: دراسة التقارب وحساب نهاية

النوع 6: متتاليات متجاورة

Suites numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Différence avec coefficient

Expression rationnelle (2n+1)/(n+1)

Limite de (1/3)^n

Limite de (3/2)^n

Majoration par récurrence

Minoration par récurrence

Monotonie via le signe de la différence

Opérations : 3 + 1/n

Reconnaître la nature d'une suite

Signe de la différence et fonction racine

Somme de termes d'une suite arithmétique

Somme de termes d'une suite géométrique

Somme géométrique infinie

Limite suite géométrique

Suite par récurrence simple

Somme géométrique

Reconnaissance de nature

Somme partielle

Limite d'une suite géométrique

Limite d'une suite arithmétique

Termes d'une suite récurrente

Suite arithmétique : terme et somme

Suite géométrique : terme et limite

Terme général d'une suite arithmétique

Terme général d'une suite géométrique

Exercices Intermédiaires

Application : épargne mensuelle

Application : évolution d'une population

Combinaison avec une suite géométrique

Croissance et majoration combinées

Différence avec fonction homographique

Encadrement puis monotonie

Étude complète d'une suite affine

Quotient (5^n - 2^n)/5^n

Quotient avec une racine carrée

Quotient de polynômes de degré 2

Série géométrique 2/3 + 2/9 + ...

Somme avec terme général donné

Suite arithmétique connaissant deux termes

Suite auxiliaire géométrique

Suite décroissante minorée

Suite géométrique connaissant deux termes

Suite géométrique de raison négative

Suite positive croissante avec racine

Convergence par théorème des gendarmes

Démonstration par récurrence

Suite récurrente : étude convergence

Limite d'une suite définie par récurrence

Récurrence math

IV. المتتاليات التكرارية $u_{n + 1} = f (u_{n})$