Arithmétique dans ℤ — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكيرات: القاسمية والقسمة الإقليدية

القاسمية

لكل $a \in Z$ و $b \in Z^{*}$ , نقول إن b يقسم a ( $b ∣ a$ ) إذا وجد $k \in Z$ بحيث $a = bk$ .

القسمة الإقليدية

لكل $a \in Z$ و $b \in N^{*}$ , يوجد زوج وحيد $(q, r) \in Z \times N$ بحيث $a = b q + r$ مع $0 \leq r < b$ .

II. الموافقات بترديد n (تعميق)

تعريف

ليكن $n \in N^{*}$ . $a \equiv b [n]$ $\Leftrightarrow$ $n ∣ (a - b)$ $\Leftrightarrow$ a و b لهما نفس الباقي في القسمة على n.

العمليات المتوافقة

إذا كان $a \equiv a^{'} [n]$ و $b \equiv b^{'} [n]$ , فإن:

$a + b \equiv a^{'} + b^{'} [n]$
$a \cdot b \equiv a^{'} \cdot b^{'} [n]$
$a^{k} \equiv a^{' k} [n]$ لكل $k \in N$
$P (a) \equiv P (a^{'}) [n]$ لكل كثير حدود P بمعاملات صحيحة

التبسيط في موافقة

$a c \equiv b c [n]$ لا تعني $a \equiv b [n]$ بشكل عام. ولكن:

إذا كان $g cd (c, n) = 1$ : $a c \equiv b c [n] \Rightarrow a \equiv b [n]$

III. القاسم المشترك الأكبر (PGCD)، المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) — تذكيرات وتعميقات

خصائص القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

$g cd (a, b) = g cd (b, a - b q)$ لكل $q \in Z$ (أساس خوارزمية إقليدس).
كل قاسم مشترك لـ a و b يقسم $g cd (a, b)$ .
$g cd (k a, k b) = ∣ k ∣ \cdot g cd (a, b)$ .

مميزة القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

$d = g cd (a, b)$ $\Leftrightarrow$ $d \geq 0$ , $d ∣ a$ , $d ∣ b$ , وكل قاسم مشترك لـ a و b يقسم d.

العلاقة بين PGCD و PPCM

$g cd (a, b) \times lcm (a, b) = ∣ a \times b ∣$

IV. مبرهنة Bézout

متساوية Bézout

لكل $a, b \in Z$ ليس كلاهما منعدما، يوجد $u, v \in Z$ بحيث:

$a u + b v = g cd (a, b)$

الشكل المميز (الأعداد الأولية فيما بينها)

$g cd (a, b) = 1$ $\Leftrightarrow$ $\exists u, v \in Z, a u + b v = 1$

خوارزمية إقليدس الموسعة

يتم الحصول على المعاملات u, v عن طريق الرجوع في القسمات المتتالية لخوارزمية إقليدس.

V. مبرهنة Gauss

النص

إذا كان $a ∣ b c$ و $g cd (a, b) = 1$ , فإن $a ∣ c$ .

نتائج مفيدة

إذا كان $a ∣ n$ , $b ∣ n$ و $g cd (a, b) = 1$ , فإن $ab ∣ n$ .
إذا كان $g cd (a, n) = 1$ و $g cd (b, n) = 1$ , فإن $g cd (ab, n) = 1$ .
إذا كان $g cd (a, b) = 1$ , فإن $g cd (a^{k}, b^{m}) = 1$ لكل $k, m \in N$ .

VI. الأعداد الأولية — تعميق

لمة إقليدس

إذا كان p أوليا و $p ∣ ab$ , فإن $p ∣ a$ أو $p ∣ b$ .

المبرهنة الأساسية في الحسابيات

كل عدد $n \geq 2$ يتحلل، بطريقة وحيدة (بغض النظر عن الترتيب)، إلى جداء عوامل أولية:

$n = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{α_{k}}$

عدد القواسم

إذا كان $n = p_{1}^{α_{1}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{α_{k}}$ , فإن عدد القواسم الموجبة لـ n هو:

$τ (n) = (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) \dots (α_{k} + 1)$

VII. مبرهنة Fermat الصغرى

النص

ليكن p عددا أوليا و a عددا صحيحا.

إذا كان p لا يقسم a : $a^{p - 1} \equiv 1 [p]$
لكل a : $a^{p} \equiv a [p]$

تطبيقات

حساب سريع لبواقي القوى الكبيرة بترديد عدد أولي.
معايير عدم قابلية الاختزال، اختبارات الأولية (اختبار Fermat).
حل المعادلات من النوع $a^{n} \equiv b [p]$ .

مثال

احسب $3^{2024} mod 7$ . بما أن 7 عدد أولي و $7 ∤ 3$ : $3^{6} \equiv 1 [7]$ . ولدينا $2024 = 6 \cdot 337 + 2$ . إذن $3^{2024} = (3^{6})^{337} \cdot 3^{2} \equiv 1 \cdot 9 \equiv$ $2 [7]$ .

VIII. المعادلات الديوفانتية $a x + b y = c$

معيار وجود الحلول

المعادلة $a x + b y = c$ تقبل حلولا $(x, y) \in Z^{2}$ إذا وفقط إذا كان $g cd (a, b) ∣ c$ .

طريقة كاملة

احسب $d = g cd (a, b)$ . إذا كان $d ∤ c$ : لا توجد حلول.
اقسم على d : $a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ مع $g cd (a^{'}, b^{'}) = 1$ .
ابحث عن حل خاص $(x_{0}, y_{0})$ بواسطة Bézout.
الحل العام : $x = x_{0} + b^{'} \cdot k, y = y_{0} - a^{'} \cdot k$ لكل $k \in Z$ .

IX. أنظمة الموافقات — المبرهنة الصينية

مبرهنة الباقي الصينية

ليكن $m, n \in N^{*}$ مع $g cd (m, n) = 1$ . لكل $a, b \in Z$ , النظام:

${x \equiv a [m] و x \equiv b [n]}$

يقبل حلا وحيدا بترديد mn.

حل عملي

اكتب $x = a + mk$ لـ $k \in Z$ .
عوض في الموافقة الثانية : $a + mk \equiv b [n] \Rightarrow mk \equiv b - a [n]$ .
بما أن $g cd (m, n) = 1$ , فإن m قابل للعكس بترديد n : $k \equiv m^{- 1} (b - a) [n]$ .
ارجع : $x = a + mk = a + m \cdot [m^{- 1} (b - a) mod n] mod mn$ .

X. معايير قابلية القسمة (تطبيقات)

على 3 أو 9 : عدد صحيح يقبل القسمة على 3 (أو 9) إذا وفقط إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 (أو 9). (لأن $10 \equiv 1 [3]$ و $[9]$ .)
على 11 : المجموع المتناوب لأرقام العدد يقبل القسمة على 11. (لأن $10 \equiv - 1 [11]$ .)
على 7 : العدد المتكون بطرح $2 \times$ الرقم الأخير من العدد المجرد من رقمه الأخير يقبل القسمة على 7.
على 4 : الرقمين الأخيرين يشكلان عددا يقبل القسمة على 4.
على 8 : الأرقام الثلاثة الأخيرة تشكل مضاعفا للعدد 8.

🔑 Formules clés à retenir

القسمة الإقليدية : a = bq + r, $0 \leq r < b$
الموافقات : $a \equiv b (mod n)$ $\Leftrightarrow$ $n ∣ (a - b)$ · مستقرة بالنسبة للجمع، الضرب، $^{k}$
خوارزمية إقليدس : $g cd (a, b) = g cd (b, a mod b)$
Bézout : $g cd (a, b) = 1$ $\Leftrightarrow$ $\exists u, v : a u + b v = 1$
Gauss : $a ∣ b c$ و $g cd (a, b) = 1$ $\Rightarrow$ $a ∣ c$
مبرهنة Fermat الصغرى : p عدد أولي، $p ∤ a$ $\Rightarrow$ $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$
Fermat (الصيغة العامة) : $a^{p} \equiv a (mod p)$
مبرهنة الباقي الصينية : $g cd (m, n) = 1$ $\Rightarrow$ ${x \equiv a (mod m), x \equiv b (mod n)}$ حل وحيد بترديد $mn$
ax + by = c : الحلول $\Leftrightarrow$ $g cd (a, b) ∣ c$ · الحل العام : $(x_{0} + b^{'} k, y_{0} - a^{'} k)$
τ(n) : إذا كان $n = \prod p_{i}^{α_{i}}$ , فإن $τ (n) = \prod (α_{i} + 1)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

مبرهنة فيرما الصغرى: p يجب ألا يقسم a: تنص المبرهنة على أن $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$ فقط إذا كان $g cd (a, p) = 1$ . إذا كان $p ∣ a$ ، فإن $a \equiv 0 (mod p)$ و $a^{p - 1} \equiv 0 (mod p)$ ، وليس 1!

❌

التوافقات والقسمة: لا يمكن "القسمة" على طرفي توافق إلا إذا كان القاسم أوليا مع المعيار. $6 \equiv 2 (mod 4)$ لا تعطي $3 \equiv 1 (mod 4)$ بعد القسمة على 2 (لأن $g cd (2, 4) \neq = 1$ )!

❌

مبرهنة الباقي الصينية: تحقق من أن $g cd (m, n) = 1$ : تتطلب مبرهنة الباقي الصينية أن يكون m و n أوليين فيما بينهما. إذا كان $g cd (m, n) > 1$ ، فقد لا يكون للنظام حل.

🟢 حيل احترافية

✅

حساب $a^{n} mod p$ : استخدم مبرهنة فيرما الصغرى + تفكيك n إلى خارج القسمة والباقي على $p - 1$ . مثال: $3^{100} mod 7$ : $3^{6} \equiv 1 (mod 7)$ (فيرما)، $100 = 6 \times 16 + 4$ ، إذن $3^{100} \equiv 3^{4} = 81 \equiv 4 (mod 7)$ .

✅

إيجاد $τ (n)$ بسرعة: فكك $n = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot \dots$ ثم $τ (n) = (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) \dots$ مثال: $τ (12) = τ (2^{2} \cdot 3) = 3 \times 2 = 6$ قواسم (1, 2, 3, 4, 6, 12).

💡

خوارزمية Bézout: ارجع خطوات خوارزمية إقليدس للتعبير عن $g cd (a, b) = u a + v b$ . هذه التركيبة الخطية تعطي حلاً خاصاً للمعادلة الديوفانتية $a x + b y = g cd (a, b)$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الحسابيات في $Z$

النوع 1 : القابلية للقسمة والقسمة الإقليدية

متى؟ عندما يُطلب إثبات أن $a$ يقسم $b$ ، أو إجراء / استخدام القسمة الإقليدية لـ $a$ على $b$ .

للقابلية للقسمة: إثبات $b = a \times k$ حيث $k \in Z$ ، أي $a ∣ b$ .
للقسمة الإقليدية ( $b > 0$ ): كتابة $a = b q + r$ حيث $0 \leq r < b$ ، و $q$ و $r$ وحيدان.
استخدام الخصائص: $a ∣ b$ و $a ∣ c \Rightarrow a ∣ (b u + c v)$ لكل $u, v \in Z$ .
إذا كان $a ∣ b$ و $b ∣ a$ مع $a, b > 0$ ، فإن $a = b$ .

مثال سريع: قسمة $47$ على $5$ : $47 = 5 \times 9 + 2$ ، إذن $q = 9$ ، $r = 2$ .

النوع 2 : الحسابات والاستدلالات بالتطابقات

متى؟ عند دراسة باقي القسمة على $n$ ، رقم الآحاد، أو قوة كبيرة $a^{k}$ بالنسبة لـ $n$ .

الترجمة: $a \equiv b [n] ⟺ n ∣ (a - b)$ .
استخدام التوافق: إذا كان $a \equiv a^{'} [n]$ و $b \equiv b^{'} [n]$ ، فإن $a + b \equiv a^{'} + b^{'} [n]$ و $a \times b \equiv a^{'} \times b^{'} [n]$ .
للقوة: البحث عن دورة لبواقي $a^{k} [n]$ ، ثم اختزال الأس بالنسبة للدورة.
الاستنتاج حول الباقي المطلوب (دائماً في ${0, \dots, n - 1}$ ).

مثال سريع: $3^{4} = 81 \equiv 1 [5]$ ، إذن $3^{100} = (3^{4})^{25} \equiv 1 [5]$ .

النوع 3 : حساب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

متى؟ عندما يُطلب $pgcd (a, b)$ ، $ppcm (a, b)$ ، أو إثبات أن عددين صحيحين أوليان فيما بينهما.

تطبيق خوارزمية إقليدس: $pgcd (a, b) = pgcd (b, r)$ حيث $r$ هو باقي قسمة $a$ على $b$ ، حتى الحصول على باقٍ معدوم.
آخر باقٍ غير معدوم هو $pgcd (a, b) = d$ .
$a$ و $b$ أوليان فيما بينهما $⟺ pgcd (a, b) = 1$ .
استخدام العلاقة $pgcd (a, b) \times ppcm (a, b) = ∣ a \times b ∣$ .

مثال سريع: $pgcd (48, 36)$ : $48 = 36 \times 1 + 12$ ، $36 = 12 \times 3 + 0$ ، إذن $pgcd = 12$ و $ppcm = \frac{48 \times 36}{12} = 144$ .

النوع 4 : مبرهنة بيزو والمعاملات

متى؟ عند الرغبة في إثبات أن $pgcd (a, b) = 1$ عبر تركيبة خطية، أو إيجاد $u, v$ بحيث $a u + b v = d$ .

المبرهنة: $pgcd (a, b) = 1 ⟺ \exists (u, v) \in Z^{2}, a u + b v = 1$ .
لإظهار $(u, v)$ : الصعود في خوارزمية إقليدس (تعويضات متتالية للبواقي).
بشكل أعم $a u + b v = pgcd (a, b)$ تقبل حلولاً.
إذا وُجدت علاقة $a u + b v = 1$ ، الاستنتاج مباشرة $pgcd (a, b) = 1$ .

مثال سريع: $5 \times 3 - 7 \times 2 = 1$ ، إذن $pgcd (5, 7) = 1$ مع $u = 3, v = - 2$ .

النوع 5 : مبرهنة غاوس والقابلية للقسمة

متى؟ عندما يكون لدينا $a ∣ b c$ ونريد الاستنتاج $a ∣ c$ ، أو إثبات جداء قابليات قسمة انطلاقاً من أعداد أولية فيما بينها.

مبرهنة غاوس: إذا كان $a ∣ b c$ و $pgcd (a, b) = 1$ ، فإن $a ∣ c$ .
نتيجة: إذا كان $a ∣ c$ ، $b ∣ c$ و $pgcd (a, b) = 1$ ، فإن $ab ∣ c$ .
التحقق بعناية من فرضية $pgcd = 1$ (غالباً عبر بيزو، النوع 4).
الاستنتاج بالقابلية للقسمة المطلوبة.

مثال سريع: $3 ∣ 5 n$ و $pgcd (3, 5) = 1$ يعطيان $3 ∣ n$ .

النوع 6 : حل معادلة ديوفانتية $a x + b y = c$

متى؟ عند البحث عن جميع أزواج الأعداد الصحيحة $(x, y)$ التي تحقق $a x + b y = c$ .

حساب $d = pgcd (a, b)$ : المعادلة لها حلول $⟺ d ∣ c$ .
إيجاد حل خاص $(x_{0}, y_{0})$ (بيزو ثم الضرب في $c / d$ ).
كتابة الحل العام: $x = x_{0} + \frac{b}{d} k$ ، $y = y_{0} - \frac{a}{d} k$ ، $k \in Z$ .
التحقق بإعادة التعويض وتحديد القيود المحتملة (الإشارات، الحدود).

مثال سريع: $5 x + 7 y = 1$ : حل خاص $(3, - 2)$ ، ومنه $x = 3 + 7 k$ ، $y = - 2 - 5 k$ .

النوع 7 : الأعداد الأولية والتفكيك

متى؟ عند اختبار أولية عدد صحيح، تفكيكه إلى عوامل أولية، أو عد القواسم.

لاختبار $n$ أولي: التحقق من أن أي عدد أولي $p$ حيث $p \leq n$ لا يقسم $n$ .
التفكيك: $n = p_{1}^{α_{1}} \times \dots \times p_{r}^{α_{r}}$ (الوجود والوحدانية).
عدد القواسم الموجبة: $(α_{1} + 1) \times \dots \times (α_{r} + 1)$ .
الاستخدام: إذا كان $p$ أولياً و $p ∣ ab$ ، فإن $p ∣ a$ أو $p ∣ b$ .

مثال سريع: $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ له $(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24$ قاسماً.

النوع 8 : أنظمة التطابقات (نوع الباقي الصيني)

متى؟ عند البحث عن الأعداد الصحيحة $x$ التي تحقق في آن واحد $x \equiv a [m]$ و $x \equiv b [n]$ .

التعبير عن التطابق الأول: $x = a + mk$ ، $k \in Z$ .
التعويض في الثاني: $a + mk \equiv b [n]$ ، ثم الحل بالنسبة لـ $k$ (غالباً عبر مقلوب $m$ بالنسبة لـ $n$ ).
إذا كان $pgcd (m, n) = 1$ ، الاستنتاج $x \equiv x_{0} [mn]$ (حل وحيد بالنسبة لـ $mn$ ).
وصف مجموعة الحلول والتحقق من التطابقين.

مثال سريع: $x \equiv 2 [3]$ و $x \equiv 3 [5]$ يعطيان $x \equiv 8 [15]$ .

Arithmétique dans ℤ — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

173 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 173 corrigés

Exercices Faciles

40 exercices

الموافقات وبواقي القوى

Facile

Énoncé

حدد باقي قسمة $7^{100}$ على 10 في القسمة الإقليدية.
حدد باقي قسمة $5^{2024}$ بترديد 13.
بين أن 11 يقسم $3^{10} - 1$ .

Ma réponse

Arithmétique dans ℤ

Arithmétique dans ℤ — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكيرات: القاسمية والقسمة الإقليدية

القاسمية

القسمة الإقليدية

II. الموافقات بترديد n (تعميق)

تعريف

العمليات المتوافقة

التبسيط في موافقة

III. القاسم المشترك الأكبر (PGCD)، المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) — تذكيرات وتعميقات

خصائص القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

مميزة القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

العلاقة بين PGCD و PPCM

IV. مبرهنة Bézout

متساوية Bézout

الشكل المميز (الأعداد الأولية فيما بينها)

خوارزمية إقليدس الموسعة

V. مبرهنة Gauss

النص

نتائج مفيدة

VI. الأعداد الأولية — تعميق

لمة إقليدس

المبرهنة الأساسية في الحسابيات

عدد القواسم

VII. مبرهنة Fermat الصغرى

النص

تطبيقات

مثال

VIII. المعادلات الديوفانتية ax+by=c

معيار وجود الحلول

طريقة كاملة

IX. أنظمة الموافقات — المبرهنة الصينية

مبرهنة الباقي الصينية

حل عملي

X. معايير قابلية القسمة (تطبيقات)

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 حيل احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الحسابيات في Z

النوع 1 : القابلية للقسمة والقسمة الإقليدية

النوع 2 : الحسابات والاستدلالات بالتطابقات

النوع 3 : حساب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

النوع 4 : مبرهنة بيزو والمعاملات

النوع 5 : مبرهنة غاوس والقابلية للقسمة

النوع 6 : حل معادلة ديوفانتية ax+by=c

النوع 7 : الأعداد الأولية والتفكيك

النوع 8 : أنظمة التطابقات (نوع الباقي الصيني)

Arithmétique dans ℤ — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

الموافقات وبواقي القوى

القاسم المشترك الأكبر ومبرهنة بيزو

عدد القواسم

معادلة ديوفانتية بسيطة

القسمة الأقليدية و PGCD

تفكيك 2520 إلى جداء عوامل أولية

Diviseurs de la forme 2n+5

نص التمرين

Reste modulo 7 et chiffre des unités

نص التمرين

Diviseurs et combinaisons linéaires

نص التمرين

Non-divisibilité par 4 via congruences

نص التمرين

Équation de Bézout et résolution dans Z

المعادلة الديوفانتية الخطية

GCD, solution particulière et résolution complète

المعادلة 143x−195y=52

Divisibilité et diviseurs d'une constante

نص التمرين

قابلية قسمة 60

مضاعفات 7

قابلية القسمة على 5

قابلية قسمة الأعداد

باقي القسمة

التحقق من قابلية القسمة

VIII. المعادلات الديوفانتية $a x + b y = c$

طرق نموذجية — الحسابيات في $Z$

النوع 6 : حل معادلة ديوفانتية $a x + b y = c$

المعادلة $143 x - 195 y = 52$

دراسة تطابق modulo $65 = 5 \times 13$

الأعداد $a_{n} = n 33 \dots 3 1$

قابلية القسمة للعدد $N = 2010 11 \dots 1$

الأعداد $u_{n} = n 44 \dots 4$