Sur $E=]-1,1[$, on définit la loi $\ast$ par : $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$.

1. Montrer que $\ast$ est une LCI sur $E$.
2. Montrer l'associativité et la commutativité.
3. Déterminer l'élément neutre et le symétrique de $x\in E$.
4. Conclure.

Soit $f:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ définie par $f(x)=e^x$.

1. Montrer que $f$ est un morphisme de groupes.
2. Déterminer $\text{Ker}(f)$ et $\text{Im}(f)$.
3. $f$ est-il un isomorphisme ?

Soient (G, ∗) un groupe et $H_1$, $H_2$ deux sous-groupes de G.

1. Démontrer que $H_1\cap H_2$ est un sous-groupe de G.
2. Est-ce que $H_1\cup H_2$ est toujours un sous-groupe ? Donner un contre-exemple.
3. Démontrer que $H_1\cup H_2$ est un sous-groupe $\iff$ $H_1\subseteq H_2$ ou $H_2\subseteq H_1$.

Soit ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n=1\}$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. Expliciter les éléments de ${\mathbb{U}}_n$.
2. Montrer que $({\mathbb{U}}_n,\times )$ est un sous-groupe de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$.
3. Montrer que l'application $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{U}}_n,\times )$ définie par $f(k)=e^{i\cdot 2k\pi /n}$ est un morphisme surjectif. Quel est son noyau ?

On considère l'anneau ($\mathbb{Z}$/6$\mathbb{Z}$, +, $\times$).

1. Dresser la table de multiplication.
2. Trouver les diviseurs de zéro.
3. Trouver les éléments inversibles.

Soit $f:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ définie par $f(x)=e^x$.

1. Montrer que $f$ est un morphisme de groupes.
2. Montrer que $f$ est injective, puis surjective.
3. Conclure que $f$ est un isomorphisme de groupes.

1. Montrer que H = {4k | k $\in$ $\mathbb{Z}$} = 4$\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de ($\mathbb{Z}$, +).
2. Déterminer tous les sous-groupes de ($\mathbb{Z}$/12$\mathbb{Z}$, +).

On munit l'intervalle $E=\left]-1;1\right[$ de la loi $\ast$ définie par :

$\forall x,y\in E:x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne sur $E$.
2. Montrer que $\ast$ est commutative et associative.
3. Déterminer l'élément neutre $e$ de $\ast$ dans $E$.
4. Montrer que tout élément $x$ de $E$ admet un symétrique dans $E$, et le déterminer.

On munit $E=\left]0;+\infty \right[$ de la loi $\ast$ définie par :

$\forall x,y\in E:x\ast y=\sqrt{x^2+y^2}$

On considère l'application $f:\left]0;+\infty \right[\to \left]0;+\infty \right[$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$.

1. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $\left(\left]0;+\infty \right[,+\right)$ vers $\left(E,\ast \right)$.
2. En déduire que $\ast$ est commutative et associative.
3. La loi $\ast$ admet-elle un élément neutre dans $E$ ?
4. Calculer $f^{-1}\left(1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast n\right)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, où $f^{-1}(t)=t^2$.

Sur ${\mathbb{R}}^2$ on définit deux lois $+$ et $\times$ par : pour tous $(x,y),(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$,

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$

$(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay)$

1. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+)$ est un groupe commutatif.
2. Montrer que $\times$ est commutative, associative et admet un élément neutre.
3. Montrer que $\left({\mathbb{R}}^2,+,\times \right)$ est un anneau commutatif unitaire.
4. Cet anneau est-il intègre ?

Étude d'une loi sur un intervalle fermé

On définit sur l'intervalle $[0;1]$ la loi $\ast$ par :

$\forall x,y\in [0;1]:x\ast y=x+y-xy$

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne, commutative et associative sur $[0;1]$.
2. Montrer que $\ast$ possède un élément neutre.
3. Déterminer les éléments de $[0;1]$ qui admettent un symétrique.
4. Déterminer les éléments réguliers pour $\ast$.

Une loi du type addition des vitesses

On définit sur l'intervalle $]-1;1[$ la loi $\ast$ par :

$\forall x,y\in ]-1;1[:x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne sur $]-1;1[$.
2. Montrer que $\ast$ est commutative et associative.
3. Déterminer l'élément neutre $e$ de $\ast$.
4. Montrer que tout $x\in ]-1;1[$ admet un symétrique, à déterminer.

Inversibilité via une équation matricielle

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, et $I$ la matrice identité.

1. Montrer que $A^2-7A+2I=O_2$.
2. En déduire que $A$ est inversible dans $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\times )$ et déterminer $A^{-1}$.
3. Soit $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Calculer $B^2$, puis montrer que $B$ n'a pas d'inverse.

Une matrice nilpotente

Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

1. Montrer que $A^3=O$ et en déduire que $A$ n'est pas inversible.
2. Montrer que $I-A$ et $I+A$ sont inversibles, et déterminer leurs inverses en fonction de $I$, $A$ et $A^2$.

On munit $E=]0,1[$ de la loi $\ast$ définie par :

$\forall x,y\in ]0,1[:x\ast y=\frac{xy}{xy+(1-x)(1-y)}$

Soit $f$ l'application définie de $]0,+\infty [$ vers $E$ par $f(x)=\frac{1}{x+1}$.

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne dans $]0,1[$.
2. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(]0,+\infty [,\times )$ vers $(E,\ast )$.
3. En déduire que $(E,\ast )$ est un groupe commutatif, puis déterminer l'élément neutre et le symétrique de $x$.
4. Soit $H=\left\{x_n=\frac{1}{1+3^n}/n\in \mathbb{Z}\right\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(E,\ast )$.

Dans ${\mathbb{R}}^2$ on définit deux lois $+$ et $\times$ par :

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$

$(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay)$

1. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+)$ est un groupe commutatif.
2. Montrer que la loi $\times$ est commutative, associative et admet un élément neutre.
3. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire.
4. $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ est-il un anneau intègre ? Justifier.

On définit sur $\mathbb{R}$ deux lois de composition internes $\ast$ et $T$ par :

$\forall x,y\in \mathbb{R}:x\ast y=x+y+1\text{et}xTy=x+y+xy$

1. Montrer que $(\mathbb{R},\ast ,T)$ est un anneau commutatif unitaire.
2. Montrer que $(\mathbb{R},\ast ,T)$ est un anneau intègre.
3. Montrer que $(\mathbb{R},\ast ,T)$ est un corps commutatif.

On définit sur $\mathbb{R}$ les lois :

$x\ast y=x+y-2023\text{et}xTy=x+y-\frac{1}{2023}xy$

1. 1. Montrer que $\ast$ est commutative et associative.
   2. Montrer que $(\mathbb{R},\ast )$ est un groupe commutatif.
2. Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=2023-2023x$.
   1. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},\times )$ vers $(\mathbb{R},T)$.
   2. En déduire que $(\mathbb{R},\ast ,T)$ est un corps commutatif.

On définit sur l'intervalle $[0;1]$ la loi $\ast$ par :

$\forall x,y\in [0;1]:x\ast y=x+y-xy$

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne, commutative et associative sur $[0;1]$.
2. Montrer que $\ast$ possède un élément neutre.
3. Quels sont les éléments de $[0;1]$ qui admettent un symétrique pour $\ast$ ?
4. Quels sont les éléments réguliers pour $\ast$ ?

On définit sur l'intervalle $E=]-1;1[$ la loi $\ast$ par :

$\forall x,y\in ]-1;1[:x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne sur $]-1;1[$.
2. Montrer que $\ast$ est commutative et associative.
3. Déterminer l'élément neutre $e$ de $\ast$.
4. Démontrer que tout $x$ de $E$ admet un symétrique (à déterminer).

On définit sur $E={\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$ la loi $\ast$ par :

$\forall (x;y),(x^{\prime };y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}:(x;y)\ast (x^{\prime };y^{\prime })=(x{x}^{\prime };x{y}^{\prime }+y)$

1. Montrer que $\ast$ est une loi de composition interne associative.
2. Vérifier que $\ast$ n'est pas commutative.
3. Montrer que $\ast$ possède un élément neutre.
4. Montrer que tout élément $(x;y)$ de $E$ admet un symétrique.

On munit l'intervalle $]0;+\infty [$ de la loi $\ast$ définie par :

$\forall x,y\in ]0;+\infty [:x\ast y=\sqrt{x^2+y^2}$

Soit $f$ l'application définie de $]0;+\infty [$ vers $]0;+\infty [$ par $f(x)=x^2$.

1. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(]0;+\infty [;\ast )$ vers $(]0;+\infty [;+)$.
2. Montrer que $\ast$ est commutative et associative.
3. La loi $\ast$ admet-elle un élément neutre ?
4. Calculer $f(1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast n)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

On considère $A=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $A^2-7A+2I=O_2$.
2. En déduire que $A$ est inversible dans $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});\times )$ et déterminer $A^{-1}$.
3. Soit $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Calculer $B^2$ puis en déduire que $B$ n'a pas d'inverse dans $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});\times )$.

Soit la matrice

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

1. Montrer que $A^3=O$ et en déduire que $A$ n'est pas inversible.
2. Montrer que $I-A$ et $I+A$ sont inversibles, et déterminer leurs inverses en fonction de $I$, $A$ et $A^2$.

Sur ${\mathbb{R}}^2$ on définit deux lois $+$ et $\times$ par :

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b),(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay).$

1. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+)$ est un groupe commutatif.
2. Montrer que $\times$ est commutative, associative et admet un élément neutre.
3. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire.
4. L'anneau $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ est-il intègre ? Justifier.

Sur $\mathbb{R}$ on définit les lois :

$x\ast y=x+y+1,xTy=x+y+xy.$

1. Montrer que $(\mathbb{R},\ast ,T)$ est un anneau commutatif unitaire.
2. Montrer que cet anneau est intègre.
3. Montrer que $(\mathbb{R},\ast ,T)$ est un corps commutatif.

1. Montrer que $B=(1+i,1-i)$ est une famille libre de l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C},+,\cdot )$.

2. Dans l'espace vectoriel $\left(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+,\cdot \right)$ on pose $f_1(x)=e^{2x}$, $f_2(x)=e^x$ et $f_3(x)=e^{3x}$. Montrer que $B=(f_1,f_2,f_3)$ est une famille libre.

On note $\left(D_2,+,\cdot \right)$ l'espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$, et on pose :

$H=\left\{y\in D_2:y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0\right\}.$

1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\left(D_2,+,\cdot \right)$.

2. Déterminer une base de $H$ puis en déduire $\dim (H)$.

Soit l'ensemble E = $\mathbb{R}$ avec la loi de composition ∗ définie par x ∗ y = x + y + 1. Montrez que cette loi est commutative.

Soit x = 5. Trouvez le symétrique de x pour l'addition.

Montrez que l'ensemble des entiers avec l'addition forme un groupe.

Soit la loi de composition définie par x ∗ y = x + y + 1. Vérifiez si cette loi est associative.

Considérons l'ensemble E = $\mathbb{Z}$ avec la loi de composition interne x ∗ y = x + y + 1. Trouvez l'élément neutre et les inverses de 1 et 2.

Soit E = {a, b, c}. Montrez que les opérations $\cap$ et $\cup$ sur P(E) (parties de E) sont des lois de composition interne.

Soit G = {1, -1} avec la multiplication. Montrez que G est un groupe et déterminez s'il est cyclique.

Dans le groupe ($\mathbb{Z}$/6$\mathbb{Z}$, +), calculez l'ordre de l'élément 4.

Soit E = $\mathbb{R}$ avec la loi de composition interne x ∗ y = x + y. Montrez que cette opération est commutative et associative, et déterminez l'élément neutre.

Définissez une opération ∗ sur $\mathbb{N}$ comme suit : x ∗ y = x + y + 1. Montrez que ($\mathbb{N}$, ∗) n'est pas un groupe.