يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و 6 كرات زرقاء. نسحب كرتين بدون إحلال. ما هو احتمال الحصول على كرتين حمراوين؟ ما هو احتمال الحصول على كرة حمراء علما أن الكرة الأولى المسحوبة حمراء؟

الآلة A (60% من الإنتاج، 2% معيبة)، الآلة B (40%، 4% معيبة). نختار قطعة عشوائيا. P(معيبة)؟

لدينا الاحتمالات التالية: P(A)=0,5 و P(B)=0,6 و P(A$\cup$B)=0,8.

1. احسب P(A$\cap$B).
2. احسب P(A|B) و P(B|A).
3. هل A و B مستقلان؟ علل جوابك.

لعبة حظ مقترحة خلال حفل في مراكش تعمل بالطريقة التالية: يرمي لاعب 4 نردات متوازنة في آن واحد. نرمز بـ X لعدد النردات التي تظهر الرقم 6.

1. بين أن X يتبع قانوناً ثنائي الحد (loi binomiale) مع تحديد معاملاته.
2. احسب $P(X=0)$، $P(X=1)$، $P(X\ge 2)$. (أعط قيماً مضبوطة ثم قيماً مقربة إلى $10^{-3}$.)
3. قواعد اللعبة هي كالتالي:
   • إذا كان $X=0$: يخسر اللاعب 10 دراهم.
   • إذا كان $X=1$: يربح اللاعب 5 دراهم.
   • إذا كان $X\ge 2$: يربح اللاعب 30 درهماً.
   ليكن G المتغير العشوائي الذي يمثل الربح الجبري للاعب. أنشئ قانون الاحتمال للمتغير G.
4. احسب $E(G)$. هل هذه اللعبة في صالح اللاعب؟ علل جوابك.

التمرين 2 — مراقبة الجودة بالدار البيضاء

مصنع لإنتاج القطع الميكانيكية بالدار البيضاء ينتج قطعا 5% منها معيبة. يأخذ مراقب عشوائيا عينة من 20 قطعة. نرمز بـ X لعدد القطع المعيبة في هذه العينة.

1. برر أن X يتبع قانونا ثنائي الحد (loi binomiale) وحدد معاملاته.

2. أحسب، مع التقريب إلى $10^{-4}$ :

1. احتمال عدم وجود أي قطعة معيبة.
2. احتمال وجود قطعتين معيبتين بالضبط.
3. احتمال وجود قطعة معيبة واحدة على الأقل.

3. أحسب الأمل الرياضي E(X) والتباين V(X). فسر E(X) في هذا السياق.

4. نعتبر Y = 3X − 1. أحسب E(Y) و V(Y).

نعطي: $0,95^{20}$ ≈ 0,3585 و $0,95^{18}$ ≈ 0,3972.

في مدينة ملاهي بمراكش، تتمثل لعبة في رمي زهرتي نرد مكعبتين متوازنتين في آن واحد، أوجه كل منهما مرقمة من $1$ إلى $6$. نرمز بِ $S$ لمجموع النتيجتين المحصل عليهما.

قواعد اللعبة هي كالتالي: يدفع اللاعب $10$ دراهم للمشاركة.

• إذا كان $S=2$ أو $S=12$، يتوصل اللاعب بِ $50$ درهماً.
• إذا كان $S$ مضاعفاً للعدد $6$ (غير $12$)، يتوصل اللاعب بِ $20$ درهماً.
• إذا كان $S$ فردياً و $S\ge 7$، يتوصل اللاعب بِ $5$ دراهم.
• في جميع الحالات الأخرى، لا يتوصل اللاعب بأي شيء.

نعرف المتغير العشوائي $G$ الذي يمثل الربح الجبري للاعب (المبلغ المتوصل به ناقص الرهان).

1. حدد قانون احتمال $G$.
2. احسب $E(G)$. هل اللعبة في صالح اللاعب ؟
3. نضع $Y=2G+10$. احسب $E(Y)$ و $V(Y)$.

التمرين 3 — اختيار طلاب بالرباط

في مدرسة للمهندسين بالرباط، تضم دفعة 60 طالباً موزعين كالتالي:

• 35 طالباً تابعوا مساراً علمياً (S).
• 25 طالباً تابعوا مساراً تكنولوجياً (T).

من بين الطلاب العلميين، 28 طالباً اجتازوا تدريبهم بنجاح. ومن بين الطلاب التكنولوجيين، 15 طالباً اجتازوا تدريبهم بنجاح.

نختار طالباً عشوائياً من الدفعة. نرمز بـ:

• S : « الطالب تابع مساراً علمياً »
• V : « الطالب اجتاز تدريبه بنجاح »

الجزء A — الاحتمالات الشرطية

1. أحسب $P(S)$ و $P(V\cap S)$ و $P(V\cap T)$.

2. استنتج $P(V)$ باستخدام صيغة الاحتمالات الكلية.

3. أحسب $P(S|V)$ وفسر هذه النتيجة.

الجزء B — المتغير العشوائي

نختار الآن، بالتتابع وبدون إحلال، 3 طلاب من بين 60 طالباً. نرمز بـ Y لعدد الطلاب الذين اجتازوا تدريبهم بنجاح من بين الطلاب الثلاثة المختارين.

4. برر أن Y لا يتبع بالضبط قانوناً ثنائي الحد. ومع ذلك، أعطِ قانون ثنائي الحد $B(n,p)$ الذي يمكن أن يستخدم كتقريب، مع تحديد الشروط التي تبرر هذا التقريب.

5. باستخدام هذا التقريب، أحسب $P(Y=2)$. قرّب النتيجة إلى $10^{-4}$.

خلال استطلاع للرأي أُجري في مدينة مغربية قبل الانتخابات الجماعية، تم استجواب 450 شخصًا عشوائيًا. من بينهم، صرح 198 شخصًا أنهم يعتزمون التصويت للمرشح A.

1. احسب التردد f الملاحظ للأشخاص المؤيدين للمرشح A في هذه العينة.
2. نعتبر أن حجم العينة كبير بما يكفي لتطبيق التقريب الطبيعي. أنشئ مجال ثقة بمستوى 95% لنسبة p للأشخاص المؤيدين للمرشح A في الساكنة الإجمالية. نذكر أن هذا المجال هو: $I=[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]$.
3. يؤكد صحفي أن "أكثر من نصف ناخبي هذه المدينة يدعمون المرشح A". هل يسمح مجال الثقة المحصل عليه بتأكيد هذا الادعاء؟ علل جوابك.
4. نرغب الآن في بناء مجال ثقة بمستوى 99%. دون إجراء الحساب الكامل، هل سيكون هذا المجال أوسع أم أضيق من المجال بمستوى 95%، واشرح لماذا.

معطيات: $1,96^2\approx 3,84$ ؛ $2,58^2\approx 6,66$ ؛ $\sqrt{\frac{0,2464}{450}}\approx 0,0234$.

في إحدى ثانويات الرباط، أُجري تحقيق حول الممارسة الرياضية والنتائج الدراسية لتلاميذ السنة الختامية. تتوفر لدينا المعطيات التالية:

• 60% من التلاميذ يمارسون الرياضة بانتظام (الحدث S).
• من بين التلاميذ الذين يمارسون الرياضة، 75% لديهم معدل عام يفوق 12 (الحدث M).
• من بين التلاميذ الذين لا يمارسون الرياضة، 40% لديهم معدل عام يفوق 12.

نختار تلميذاً عشوائياً من هذه الثانوية.

1. مثل الوضعية بواسطة شجرة الاحتمالات.
2. احسب احتمال أن يكون للتلميذ المختار معدل يفوق 12.
3. علماً أن للتلميذ معدلاً يفوق 12، ما هو احتمال أن يكون يمارس الرياضة؟ (قرب إلى $10^{-2}$.)
4. هل الحدثان S و M مستقلان؟ علل إجابتك بدقة.

التمرين 4 — وزن برتقال سوس

يتبع وزن (بالجرام) البرتقال المنتج في منطقة سوس قانونًا طبيعيًا بمتوسط $\mu =180$ جرام وانحراف معياري $\sigma =20$ جرام. نرمز لهذه المتغيرة العشوائية بـ $X$.

1. احسب $P(160\le X\le 200)$. فسر هذه النتيجة.

2. احسب $P(X>210)$. (قرب إلى $10^{-4}$.)

3. حدد القيمة $a$ بحيث $P(X\le a)=0,9772$.

4. يأخذ مصدر عينة من $n=400$ برتقالة ويلاحظ أن 84 منها لها وزن أقل من 150 جرام. لتكن $f$ التردد الملاحظ لهذه الخاصية في العينة.

• أ) احسب $f$.
• ب) أعط مجال ثقة بمستوى 95% للنسبة الحقيقية $p$ للبرتقال الذي يقل وزنه عن 150 جرام في الإنتاج. (نذكر أن مجال الثقة بمستوى 95% هو: $I=[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$.)
• ج) هل القيمة النظرية $P(X<150)$ متوافقة مع هذا المجال؟ احسب $P(X<150)$ للإجابة.

التمرين 3 — البذور والإنبات

يقوم مهندس زراعي من منطقة الرباط بإجراء اختبارات على البذور. احتمال أن تنبت بذرة هو $p=0,7$. نفترض أن عمليات الإنبات مستقلة من بذرة لأخرى. نزرع $n=10$ بذور.

نرمز بـ $X$ للمتغير العشوائي الذي يمثل عدد البذور التي تنبت.

1. برر أن $X$ يتبع قانونا ثنائي الحد، وحدد وسيطيه.

2. احسب الاحتمالات التالية (قرب إلى $10^{-4}$):

• أ) $P(X=7)$
• ب) $P(X\ge 9)$
• ج) $P(3\le X\le 5)$

3. احسب الأمل الرياضي $E(X)$، والتباين $V(X)$، والانحراف المعياري $\sigma (X)$. فسر $E(X)$.

4. نعتبر المتغير العشوائي $Y=2X-3$. احسب $E(Y)$ و $V(Y)$.

5. يؤكد المهندس الزراعي أنه "من المرجح جدا" أن ينبت أكثر من نصف البذور. احسب $P(X>5)$ للتحقق من هذا التأكيد. (قرب إلى $10^{-4}$).

يتم تزويد شبكة كهربائية لمدينة الرباط بواسطة 8 مولدات مستقلة. يتعطل كل مولد، بشكل مستقل عن الآخرين، باحتمال p = 0,1 يوميًا.

نرمز بـ X إلى عدد المولدات المعطلة في يوم معين.

1. ما هو القانون الذي يتبعه X؟ حدد معاملاته، أمله وتباينه.
2. احسب احتمال أن يكون مولدان على الأقل معطلين في نفس اليوم. أعط قيمة مضبوطة ثم قيمة مقربة إلى $10^{-4}$.
3. تعمل الشبكة بشكل صحيح طالما أن مولدين على الأكثر معطلين في نفس الوقت. احسب احتمال أن تعمل الشبكة بشكل صحيح في يوم معين.
4. نراقب الشبكة لمدة 30 يومًا متتاليًا. نرمز بـ Y إلى عدد الأيام التي لا تعمل فيها الشبكة بشكل صحيح. ما هو قانون Y؟ احسب E(Y) وفسر النتيجة.

في إحدى المدن المغربية، يقدم مختبر اختبارًا للكشف عن مرض M. تتوفر لدينا المعلومات التالية:

• نسبة الأشخاص المصابين بالمرض M في الساكنة المختبرة هي 2%.
• إذا كان شخص مصابًا بالمرض M، فإن الاختبار يكون إيجابيًا باحتمال 0,95.
• إذا كان شخص سليمًا، فإن الاختبار يكون إيجابيًا باحتمال 0,04 (إيجابي كاذب).

نرمز بـ:
— M للحدث «الشخص مصاب بالمرض»،
— T للحدث «الاختبار إيجابي».

1. أنشئ شجرة احتمالات مرجحة تمثل الوضعية.

2. احسب احتمال أن يكون لدى شخص تم اختياره عشوائيًا من هذه الساكنة اختبار إيجابي. أعطِ النتيجة على شكل عدد عشري مقرب إلى $10^{-4}$.

3. علمًا أن اختبار شخص ما إيجابي، احسب احتمال أن يكون مصابًا بالفعل بالمرض M. قرب النتيجة إلى $10^{-4}$.

4. يؤكد المختبر أن اختباره "موثوق به بنسبة تزيد عن 90%". علّق على هذا التأكيد في ضوء نتيجة السؤال 3.

تتكون لعبة من رمي نردين متوازنين ذوي ستة أوجه مرقمة من 1 إلى 6 في آن واحد. نرمز بـ S لمجموع النتيجتين المحصل عليهما.

يراهن اللاعب بمبلغ 10 دراهم للمشاركة. تُحدد الأرباح كما يلي:

• إذا كان S = 2 أو S = 12، يربح اللاعب 50 درهماً (بالإضافة إلى استعادة رهانه).
• إذا كان S = 7، يربح اللاعب 20 درهماً (بالإضافة إلى استعادة رهانه).
• في جميع الحالات الأخرى، يخسر اللاعب رهانه.

نرمز بـ G للربح الجبري للاعب (موجب إذا ربح اللاعب، سالب إذا خسر).

1. حدد قانون الاحتمال للمتغير G.
2. احسب الأمل الرياضي E(G). هل اللعبة في صالح اللاعب؟ علل جوابك.
3. احسب التباين V(G) والانحراف المعياري $\sigma$(G). قرب النتيجة إلى $10^{-2}$.
4. نغير الربح في حالة S = 7: يصبح c درهماً. حدد قيمة c لكي تكون اللعبة عادلة (E(G) = 0).

في مدينة ملاهي بمراكش، تتكون لعبة من رمي نردين متوازنين ذوي 6 أوجه. نرمز بـ S لمجموع النتيجتين المحصل عليهما.

• إذا كان S = 7، يربح اللاعب 30 درهماً.
• إذا كان S مضاعفاً للعدد 3 ومختلفاً عن 7، يربح اللاعب 10 دراهم.
• في جميع الحالات الأخرى، يخسر اللاعب 15 درهماً.

نرمز بـ G للربح الجبري للاعب (بالدرهم) خلال جولة واحدة. يدفع اللاعب 5 دراهم للمشاركة.

1. حدد الاحتمالات $P(S=7)$، $P(S\text{ مضاعف للعدد 3 و }S\ne 7)$ و $P(\text{حالة أخرى})$.
2. حدد قانون احتمال G (الربح الصافي، مع الأخذ في الاعتبار 5 دراهم رسوم الدخول).
3. احسب $E(G)$. هل اللعبة في صالح اللاعب؟ علل جوابك.
4. نرمز بـ $Y=2G+10$. احسب $E(Y)$ و $V(Y)$.

في إحدى مناطق المغرب، كشفت دراسة وبائية أن 8% من السكان مصابون بمرض معين. يُستخدم اختبار الكشف عن هذا المرض بالخصائص التالية:

• إذا كان الشخص مريضًا، فإن الاختبار يكون إيجابيًا باحتمال 0,95.
• إذا لم يكن الشخص مريضًا، فإن الاختبار يكون إيجابيًا باحتمال 0,03.

نختار شخصًا عشوائيًا من هذا السكان. نرمز بـ M للحدث "الشخص مريض" وبـ T للحدث "الاختبار إيجابي".

1. احسب احتمال أن يكون الاختبار إيجابيًا، $P(T)$.
2. علمًا أن الاختبار إيجابي، احسب احتمال أن يكون الشخص مريضًا بالفعل. علّق على النتيجة.
3. نأخذ الآن عينة من 15 شخصًا مستقلين من هذا السكان. نرمز بـ X لعدد الأشخاص الذين كانت نتائج اختبارهم إيجابية. برر أن X يتبع قانونًا ثنائيًا (loi binomiale)، حدد معاملاته، ثم احسب $P(X\le 1)$ مقربًا إلى $10^{-4}$.
4. حدد أصغر عدد صحيح n بحيث يكون احتمال أن يكون على الأقل شخص واحد من بين n لديه اختبار إيجابي أكبر من 0,99.

لدينا صندوقان $U_1$ و $U_2$.

• $U_1$ يحتوي على $4$ كرات حمراء و $2$ كرات زرقاء.
• $U_2$ يحتوي على $3$ كرات حمراء و $5$ كرات زرقاء.

نرمي حجر نرد متوازن بـ $6$ أوجه. إذا كانت النتيجة 1 أو 2، نسحب كرة من $U_1$ ؛ وإلا، نسحب كرة من $U_2$.

نعرّف الحدثين:

• $A$ : «نسحب من $U_1$»
• $R$ : «الكرة المسحوبة حمراء»

1. احسب $P(A)$ و $P(\overline{A})$.
2. احسب $P(R|A)$ و $P(R|\overline{A})$.
3. استنتج $P(R)$ باستخدام صيغة الاحتمالات الكلية.
4. بمعلومية أن الكرة المسحوبة حمراء، احسب احتمال أن تكون من $U_1$. (صيغة بايز)
5. هل الحدثان $A$ و $R$ مستقلان؟ برر.

كشفت دراسة استقصائية أجريت على عينة من n = 400 من سكان الرباط أن 148 منهم يستخدمون وسائل النقل العمومي يوميًا.

1. احسب التردد f الملاحظ في هذه العينة.
2. نمذجة عدد X من المستخدمين اليوميين لوسائل النقل العمومي في عينة من 400 شخص بواسطة قانون حداني $B(400;p)$، حيث p هي النسبة الحقيقية في الساكنة. أعط $E(X)$ و $V(X)$ بدلالة p.
3. برر أنه، من أجل n = 400 كبير بما فيه الكفاية، يمكن تقريب قانون X بقانون طبيعي. حدد معلمات هذا القانون الطبيعي.
4. باستخدام التقريب الطبيعي وحقيقة أن $P(|Z|\le 1,96)\approx 0,95$ لـ $Z\sim N(0,1)$، أنشئ مجال ثقة بمستوى ثقة 95% للنسبة p.
   سنفترض أن مجال الثقة هو: $I=\left[f-1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+1,96\times \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$.
5. هل يمكننا التأكيد، عند عتبة 95%، أن نسبة المستخدمين اليوميين مختلفة عن 40% في ساكنة الرباط؟

لدى مصنع $3$ آلات $A$ و $B$ و $C$ تنتج على التوالي $50\%$ و $30\%$ و $20\%$ من الإنتاج. معدلات القطع المعيبة هي: $2\%$ للآلة $A$، و $3\%$ للآلة $B$، و $5\%$ للآلة $C$.

1. ما هو احتمال أن تكون قطعة معيبة؟
2. قطعة معيبة. ما هو احتمال أن تكون من الآلة $C$؟
3. أي آلة تنتج أكبر عدد من القطع المعيبة؟

نرمي نردين متوازنين لهما 6 أوجه. ليكن X القيمة المطلقة للفرق بين النتيجتين.

1. حدد القيم الممكنة للمتغير X.
2. أنشئ جدول قانون احتمال X.
3. احسب E(X) و V(X) و $\sigma$(X).
4. احسب P(X $\le$ 2).

نرمز بـ $\Phi$ لدالة التوزيع التراكمي للقانون الطبيعي المعياري المختزل $N(0,1)$.

نذكر أن $P(Z\le t)=\Phi (t)$ و $\Phi (-t)=1-\Phi (t)$.

قيم مفيدة: $\Phi (1)\approx 0.841$, $\Phi (1.5)\approx 0.933$, $\Phi (2)\approx 0.977$, $\Phi (2.5)\approx 0.994$

1. ليكن $Z\sim N(0,1)$. أحسب $P(Z\le 1.5)$.
2. أحسب $P(Z\ge 1.5)$.
3. أحسب $P(-1\le Z\le 2)$.
4. ليكن $X\sim N(3,4)$ ($\mu =3$, ${\sigma }^2=4$). اختزل $X$ وأحسب $P(X\le 5)$.
5. أحسب $P(1\le X\le 7)$ لنفس القانون $X\sim N(3,4)$.

تم إجراء استطلاع رأي على عينة تتكون من $n=400$ شخص. لوحظ أن 120 شخصًا يؤيدون إجراءً معينًا.

1. احسب التردد الملاحظ $f$ في العينة.
2. أعط مجال الثقة بنسبة 95% للنسبة $p$ في الساكنة (استخدم الصيغة: $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}},f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$).
3. هل يمكننا التأكيد، بمستوى ثقة 95%، أن النسبة في الساكنة تتجاوز 25%؟
4. استطلاع رأي آخر ($n=1000$) يعطي $f^{\prime }=0.28$. احسب مجال الثقة الجديد بنسبة 95%.
5. ما هو الحجم الأدنى للعينة المطلوب لكي يكون طول المجال أقل من 2%؟

لتكن X متغيرا عشوائيا يتبع القانون الطبيعي $N(\mu ,{\sigma }^2)$ حيث $\mu =60$ و $\sigma =10$.

1. اذكر المتغير العشوائي المصغر Z وقانونه.
2. احسب $P(X\le 70)$. ($\Phi (1)\approx 0.8413$)
3. احسب $P(50\le X\le 80)$. ($\Phi (2)\approx 0.9772$)
4. احسب $P(X\ge 65)$. ($\Phi (0.5)\approx 0.6915$)
5. أوجد القيمة t بحيث $P(X\le t)=0.975$. ($\Phi (1.96)\approx 0.975$)

نقوم بإجراء مسح على عينة من n = 900 شخص. التردد الملاحظ لخاصية معينة هو f = 0.40.

1. اذكر صيغة مجال التذبذب عند عتبة 95%.
2. احسب مجال التذبذب لهذه العينة.
3. هل النسبة الحقيقية في المجتمع التقديري تتضمن القيمة p₀ = 0.36؟
4. ما هو تأثير زيادة حجم العينة إلى n = 3 600 على عرض المجال؟

في قسم يضم 40 تلميذاً، يدرس 25 منهم الرياضيات، من بينهم 10 فتيات. ما هو احتمال أن يكون التلميذ المختار عشوائياً والذي يدرس الرياضيات فتاة؟

يبيع متجر 60% من التفاح و 40% من الإجاص. 70% من التفاح عضوي و 30% من الإجاص عضوي. ما هو احتمال أن تكون فاكهة مختارة عشوائيا عضوية؟

يحتوي صندوق على 3 كرات حمراء و 5 كرات زرقاء. نسحب كرتين الواحدة تلو الأخرى بدون إحلال. ما هو احتمال أن تكون الكرتان حمراوين؟

في صندوق، يوجد 3 كرات حمراء و 2 كرات خضراء و 5 كرات زرقاء. إذا سحبنا كرتين على التوالي دون إرجاع، ما هو احتمال الحصول على كرة حمراء ثم كرة زرقاء؟

في قسم يتكون من $30$ تلميذا، $18$ منهم بنات و $12$ أولاد. إذا تم اختيار تلميذ عشوائيا وكان بنتا، فما هي احتمالية أن تكون الأولى في القسم؟ (هناك $5$ بنات في المرتبة الأولى).

نص التمرين

نرمي في وقت واحد حجري نرد متوازنين بستة أوجه. نرمز بـ $X$ للمتغير العشوائي المساوي لأكبر القيمتين المحصل عليهما.

1. حدد قانون احتمال $X$.
2. احسب الأمل الرياضي $E(X)$، التباين $V(X)$ والانحراف المعياري $\sigma (X)$.

نص التمرين

يحتوي صندوق على $10$ كرات لا يمكن تمييزها باللمس تحمل الأرقام $1$، $2$، $2$، $3$، $3$، $3$، $4$، $4$، $4$، $4$. نسحب على التوالي ودون إرجاع كرتين.

1. نعتبر الحدث $A$: «الحصول على كرتين تحملان رقمين زوجيين». بين أن $P(A)=\frac{1}{3}$.
2. نكرر هذه التجربة $3$ مرات متتالية، مع إرجاع الكرتين في الصندوق في كل مرة. لتكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لعدد تحققات $A$.
   1. بين أن $P(X=1)=\frac{4}{9}$.
   2. حدد قانون احتمال $X$.
   3. احسب $E(X)$، $V(X)$ و $\sigma (X)$.

نص التمرين

تضم مدرسة $300$ تلميذ، كل واحد منهم مسجل في نادٍ واحد فقط: $60$ في نادي الأمن السيبراني (منهم $30\%$ من الفتيات)، $90$ في نادي الرياضة (منهم $60\%$ من الفتيات) و $150$ في نادي البيئة (منهم $72\%$ من الفتيات). نختار تلميذاً عشوائياً ونعتبر الأحداث $F$ "التلميذ فتاة"، $G$ "التلميذ ولد"، $C_{sc}$، $C_{sp}$، $C_{env}$ للانتماء على التوالي للنوادي الثلاثة.

1. تحقق من أن $P(C_{sc})=\frac{1}{5}$، ثم احسب $P(C_{sp})$ و $P(C_{env})$.
2. بيّن أن $P(F)=\frac{3}{5}$.
3. استنتج $P(G)$.
4. بمعلومية أن التلميذ المختار ولد، بيّن أن احتمال انتمائه لنادي البيئة هو $\frac{7}{20}$.

نص التمرين

نرمي في وقت واحد حجري نرد متوازنين بـ 6 أوجه. لتكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لأكبر القيمتين المحصل عليهما.

1. أنشئ قانون احتمال $X$.
2. احسب الأمل الرياضي $E(X)$، التباين $V(X)$ والانحراف المعياري $\sigma (X)$.

نص التمرين

يحتوي كيس على $2n$ كرة غير قابلة للتمييز ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$): $n$ بيضاء و $n$ سوداء. تتكون جولة من سحب كرة، تسجيل لونها، إعادتها، ثم سحب كرة ثانية وتسجيل لونها. القاعدة:

1. كرتان بيضاوان: نربح 20 نقطة؛
2. كرتان سوداوان: نخسر 20 نقطة؛
3. كرتان بلونين مختلفين: ربح معدوم.

1) احسب احتمال ربح 20 نقطة، خسارة 20 نقطة واحتمال ربح معدوم.
2) نكرر اللعبة 5 مرات. أ) احتمال ربح 100 نقطة. ب) احتمال ربح 40 نقطة (في المجموع).

نص التمرين

نقوم بإلقاء قطعة نقدية متوازنة تماماً 10 مرات متتالية. لتكن $X$ تكرار ظهور "الوجه"، أي عدد مرات ظهور "الوجه" مقسوماً على 10.

1. a) حدد القيم التي تأخذها $X$.
   b) احسب $P\left(X=\frac{1}{2}\right)$.
2. احسب $P\left(X\ge \frac{9}{10}\right)$.

نص التمرين

لدينا صندوقان. يحتوي الصندوق $U$ على 4 كرات حمراء و4 زرقاء؛ ويحتوي الصندوق $V$ على كرتين حمراوين و4 زرقاء. نسحب كرة من $U$: إذا كانت حمراء، نضعها في $V$ ثم نسحب كرة من $V$؛ وإذا كانت زرقاء، نضعها جانباً ثم نسحب كرة من $V$.

نرمز بـ $R_U,B_U$ (كرة من $U$ حمراء / زرقاء) و $R_V,B_V$ (كرة من $V$ حمراء / زرقاء).

1. احسب $P(R_U)$ و $P(B_U)$.
2. أ) احسب $P_{R_U}(B_V)$.
   ب) احسب $P_{B_U}(B_V)$.
3. بيّن أن $P(B_V)=\frac{13}{21}$.
4. استنتج $P(R_V)$.

نص التمرين

نرمي في وقت واحد حجري نرد مكعبين متوازنين بستة أوجه ونسجل القيمتين المحصل عليهما. لتكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لأكبر القيمتين.

1. حدد قانون احتمال $X$.

2. احسب الأمل الرياضي $E(X)$، التباين $V(X)$ ثم الانحراف المعياري $\sigma (X)$.

النص

يحتوي صندوق على عشر كرات غير قابلة للتمييز باللمس تحمل الأرقام $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4$. نسحب عشوائيًا، تباعًا وبدون إحلال، كرتين من الصندوق.

1. لتكن $A$: «الحصول على كرتين تحملان رقمين زوجيين». بيّن أن $P(A)=\frac{1}{3}$.

2. نكرر هذه التجربة ثلاث مرات متتالية، مع إعادة الكرتين في كل مرة إلى الصندوق. لتكن $X$ المتغير العشوائي المساوي لعدد تحققات $A$.

   1. بيّن أن $P(X=1)=\frac{4}{9}$.
   2. حدد قانون احتمال $X$.
   3. احسب $E(X)$ و $V(X)$ و $\sigma (X)$.

نص التمرين

تضم مدرسة $300$ تلميذ موزعين على ثلاثة أندية، حيث يمارس كل تلميذ نشاطاً واحداً فقط: $60$ في نادي الأمن السيبراني (منهم $30\%$ من الفتيات)، $90$ في النادي الرياضي (منهم $60\%$ من الفتيات) و $150$ في نادي البيئة (منهم $72\%$ من الفتيات). نختار تلميذاً عشوائياً. نرمز بـ $F$: "إنها فتاة"، $G$: "إنه ولد"، و $C_{sc}$، $C_{sp}$، $C_{env}$ الأحداث المقابلة لكل نادٍ.

1. تحقق من أن $P(C_{sc})=\frac{1}{5}$، ثم احسب $P(C_{sp})$ و $P(C_{env})$.

2. بيّن أن $P(F)=\frac{3}{5}$.

3. استنتج $P(G)$.

4. بمعلومية أن التلميذ المختار ولد، بيّن أن احتمال أن يكون مسجلاً في نادي البيئة هو $\frac{7}{20}$.

نص التمرين

يحتوي كيس على $2n$ كرة لا يمكن تمييزها باللمس ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$): $n$ بيضاء و $n$ سوداء. تتكون اللعبة من سحب كرة، تسجيل لونها، إعادتها إلى الكيس، ثم سحب كرة ثانية وتسجيل لونها. القاعدة هي: كرتان بيضاوان $\Rightarrow$ نربح $20$ نقطة؛ كرتان سوداوان $\Rightarrow$ نخسر $20$ نقطة؛ لونان مختلفان $\Rightarrow$ ربح معدوم.

1. احسب احتمال ربح $20$ نقطة، واحتمال خسارة $20$ نقطة واحتمال الربح المعدوم.

2. نكرر اللعبة خمس مرات. احسب احتمال ربح $100$ نقطة، ثم احتمال ربح $40$ نقطة بالضبط.

3. بالنسبة للعبة واحدة، ليكن $X\in \{-20,0,20\}$ الربح الجبري. حدد قانون $X$ واحسب $E(X)$.

نص التمرين

لدينا صندوقان. يحتوي الصندوق $U$ على $4$ كرات حمراء و $4$ كرات زرقاء؛ يحتوي الصندوق $V$ على $2$ كرات حمراء و $4$ كرات زرقاء. نسحب عشوائياً كرة من $U$: إذا كانت حمراء، نضعها في $V$ ثم نسحب كرة من $V$؛ إذا كانت زرقاء، نستبعدها ثم نسحب كرة من $V$. نرمز بـ $R_U,B_U$ (كرة من $U$ حمراء، أو زرقاء على التوالي) و $R_V,B_V$ (كرة من $V$ حمراء، أو زرقاء على التوالي).

1. احسب $P(R_U)$ و $P(B_U)$.

2. احسب $P_{R_U}(B_V)$ و $P_{B_U}(B_V)$.

3. بيّن أن $P(B_V)=\frac{13}{21}$.

4. استنتج $P(R_V)$.

يأخذ المتغير العشوائي X القيم 1 و 2 و 3 باحتمالات متتالية 0.2 و 0.5 و 0.3. احسب الأمل الرياضي E(X).

لنعتبر نفس المتغير العشوائي $X$. احسب التباين $V(X)$.

يتلقى متجر 4 زبائن في المتوسط كل ساعة. ما هو احتمال أن يتلقى زبونين اثنين بالضبط في ساعة واحدة؟

لدى شركة بالدار البيضاء 50 موظفًا بمتوسط أجر قدره 8000 درهم وانحراف معياري قدره 1500 درهم. أوجد الأمل الرياضي و التباين للأجور.

يتلقى مركز اتصال هاتفي 4 مكالمات في المتوسط كل ساعة. ما هو احتمال تلقي 3 مكالمات بالضبط في ساعة واحدة؟

في إحدى الجامعات، 70% من الطلاب راضون عن جودة التدريس. إذا استجوبنا 50 طالبًا، فما هو احتمال أن يكون 40 منهم على الأقل راضين؟

متغير عشوائي X له القانون التالي: P(X = 1) = 0.1, P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.4, P(X = 4) = 0.2. احسب الأمل الرياضي E(X).

نعتبر نفس المتغير العشوائي X من التمرين السابق. أحسب التباين V(X).

في استطلاع، وجد أن 60% من الأشخاص الذين شملهم الاستطلاع (ن=100) يؤيدون إجراءً معيناً. احسب مجال الثقة بنسبة 95% لهذه النسبة.

لتكن X متغيرا عشوائيا يأخذ القيم 1 و 2 و 3 بالاحتمالات P(X=1) = 0,2 و P(X=2) = 0,3 و P(X=3) = 0,5. احسب الأمل الرياضي E(X).

يتلقى متجر 5 زبائن في المتوسط كل ساعة. ما هو احتمال أن يتلقى 3 زبائن بالضبط في ساعة واحدة؟