Équations différentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

⚠️ خارج المقرر الرسمي — إثراء: هذا الفصل غير مطلوب في البكالوريا المغربية العادية. إنه مقترح كتعميق للتلاميذ الراغبين في المضي قدمًا.

I. المصطلحات

تعريف

المعادلة التفاضلية هي معادلة مجهولها دالة y وتتضمن y ومشتقاتها المتتالية y', y'', ...

الرتبة: أكبر رتبة اشتقاق موجودة.
خطية: تظهر y ومشتقاتها من الدرجة الأولى (لا توجد جداءات $y \cdot y^{'}$ ، لا توجد $sin (y)$ ، إلخ).
حل: كل دالة $y : I \to R$ تحقق المعادلة على I.
الحل العام: شكل بارامتري يجمع كل الحلول.
حل خاص: حل معين، يتم اختياره لتحقيق شروط أولية.

II. المعادلة $y^{'} = a y$ (متجانسة، من الرتبة 1، معاملات ثابتة)

حل

ليكن $a \in R$ . حلول المعادلة على $R$ هي:

$y^{'} = a \cdot y$

هي الدوال من الشكل:

$y (x) = C \cdot e^{a x}$ ، $C \in R$

شرط أولي

إذا فرضنا $y (x_{0}) = y_{0}$ ، فإن الحل وحيد: $C = y_{0} \cdot e^{- a x_{0}}$ .

مثال

$y^{'} = 3 y$ مع $y (0) = 2$ : $y (x) = 2 \cdot e^{3 x}$ .

III. المعادلة $y^{'} + a y = b$ (مع طرف ثان ثابت)

حل

من أجل $a \in R^{*}$ ، $b \in R$ ، حلول المعادلة:

$y^{'} + a y = b$

هي من الشكل $y_{g} = y_{h} + y_{p}$ حيث:

$y_{h} (x) = C \cdot e^{- a x}$ (حل المعادلة المتجانسة $y^{'} + a y = 0$ )
$y_{p} (x) = \frac{b}{a}$ (حل خاص ثابت)

إذن: $y (x) = C \cdot e^{- a x} + \frac{b}{a}$

مبدأ التراكب

بالنسبة لمعادلة خطية غير متجانسة:

الحل العام = حل المعادلة المتجانسة + حل خاص

IV. المعادلة $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (المذبذب التوافقي)

حل

من أجل $ω > 0$ ، حلول المعادلة:

$y^{''} + ω^{2} y = 0$

هي الدوال:

$y (x) = A \cdot cos (ω x) + B \cdot sin (ω x)$ ، $A, B \in R$

أو، بشكل مكافئ: $y (x) = R \cdot cos (ω x - φ)$ مع $R = A^{2} + B^{2}$ و $tan (φ) = \frac{B}{A}$ .

الشروط الأولية

شرطان ضروريان لتحديد الحل الوحيد: على سبيل المثال $y (0)$ و $y^{'} (0)$ .

$y (0) = A$
$y^{'} (0) = B ω$ ، إذن $B = \frac{y ^{'} ( 0 )}{ω}$

مثال — النواس

$y^{''} + 4 y = 0$ ، $y (0) = 1$ ، $y^{'} (0) = 0$ : $A = 1$ ، $B = 0$ ⇒ $y (x) = cos (2 x)$ .

V. المعادلة $y^{''} - ω^{2} y = 0$

حل

من أجل $ω > 0$ ، حلول المعادلة:

$y^{''} - ω^{2} y = 0$

هي:

$y (x) = A \cdot e^{ω x} + B \cdot e^{- ω x}$ ، $A, B \in R$

مكافئ: $y (x) = α \cdot ch (ω x) + β \cdot sh (ω x)$ (إذا أدخلنا ch و sh).

VI. المعادلة $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ (من الرتبة 2، معاملات ثابتة)

طريقة — المعادلة المميزة

لحل $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ ، نربطها بالمعادلة المميزة:

$r^{2} + a r + b = 0$

ليكن $Δ = a^{2} - 4 b$ المميز.

$Δ > 0$ : جذران حقيقيان $r_{1}$ ، $r_{2}$ ⇒ $y = A \cdot e^{r_{1} x} + B \cdot e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$ : جذر مزدوج $r_{0}$ ⇒ $y = (A + B x) \cdot e^{r_{0} x}$
$Δ < 0$ : جذران عقديان $r = α \pm i β$ ⇒ $y = e^{α x} \cdot (A \cdot cos (β x) + B \cdot sin (β x))$

مثال

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ : $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ ، الجذران $r_{1} = 1$ ، $r_{2} = 2$ ⇒ $y = A \cdot e^{x} + B \cdot e^{2 x}$ .

VII. تطبيقات فيزيائية

التفكك الإشعاعي

ليكن $N (t)$ عدد النوى المشعة عند اللحظة $t$ . لدينا $N^{'} (t) = - λ \cdot N (t)$ ، ومنه:

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$

عمر النصف $T$ يحقق $N (T) = \frac{N _{0}}{2}$ ⇒ $T = \frac{l n ( 2 )}{λ}$ .

التبريد (قانون نيوتن)

ليكن $T (t)$ درجة حرارة جسم موضوع في وسط درجة حرارته $T_{a}$ . لدينا $T^{'} (t) = - k (T - T_{a})$ ، ومنه:

$T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) \cdot e^{- k t}$

تذبذبات حرة لنواس

لمذبذب توافقي بدون تخميد: $x^{''} + ω^{2} x = 0$ ، حيث $ω = \frac{k}{m}$ . الحل: $x (t) = x_{0} \cdot cos (ω t) + \frac{v _{0}}{ω} \cdot sin (ω t)$ . الدور $T = \frac{2 π}{ω}$ .

VIII. طريقة الحل العامة

الخطوات الموصى بها

تحديد نوع المعادلة (الرتبة، خطية، متجانسة، بمعاملات ثابتة).
حل المعادلة المتجانسة المرتبطة (بدون طرف ثان).
البحث عن حل خاص (بالتشابه مع الطرف الثاني: ثابت إذا كان b ثابتًا، كثير حدود إذا كان b كثير حدود، أسي إذا كان $b = e^{α x}$ ).
الحل العام = الحل المتجانس + الحل الخاص.
استخدام الشروط الأولية لتحديد الثوابت.

🔑 Formules clés à retenir

y' = ay : y(x) = C· $e^{a x}$
y' + ay = b : y(x) = C· $e^{- a x}$ + b/a
y'' + ω²y = 0 : y = A· $cos (ω x)$ + B· $sin (ω x)$
y'' − ω²y = 0 : y = A· $e^{ω x}$ + B· $e^{- ω x}$
y'' + ay' + by = 0 : المعادلة المميزة $r^{2} + a r + b = 0$ · 3 حالات حسب Δ
مبدأ التراكب : $y_{g \overset{e}{ˊ} n} = y_{hom} + y_{part}$
التفكك الإشعاعي : $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$ · عمر النصف $T = \frac{l n ( 2 )}{λ}$
Newton : $T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) \cdot e^{- k t}$
المذبذب : الدور $\frac{2 π}{ω}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

المعادلة المميزة: ثلاث حالات حسب Δ: Δ > 0 ← جذران حقيقيان (دوال أسية)، Δ = 0 ← جذر مزدوج ( $t e^{r t}$ )، Δ < 0 ← جذران عقديان مترافقان (دوال جيبية وجيب تمام). يجب عدم الخلط بين الحالات!

❌

الحل الخاص بالمماثلة: إذا كان الطرف الثاني هو $e^{α x}$ و α جذر بسيط للمعادلة المميزة، فإن الحل الخاص هو $x \cdot e^{α x}$ (وليس فقط $e^{α x}$ !). إذا كان جذراً مزدوجاً: $x^{2} \cdot e^{α x}$ .

❌

نسيان ثوابت التكامل: بالنسبة لمعادلة من الرتبة الثانية، يجب أن يحتوي الحل العام على ثابتين A و B. تسمح الشروط الأولية ( $y (0)$ و $y^{'} (0)$ ) بتحديدها.

🟢 نصائح احترافية

✅

طريقة من 5 خطوات: 1) تحديد النوع، 2) حل المعادلة المتجانسة (المعادلة المميزة)، 3) إيجاد حل خاص (بالمماثلة)، 4) الحل العام = المتجانس + الخاص، 5) تطبيق الشروط الأولية لتحديد الثوابت.

✅

التحقق من الحل: عوض $y (x)$ في المعادلة التفاضلية. إذا تحققت المساواة، فإن الحل صحيح. يستغرق هذا التحقق دقيقتين ويتجنب أخطاء النسخ.

💡

النماذج الفيزيائية: التفكك الإشعاعي ( $y^{'} = - λ y$ )، تبريد نيوتن ( $y^{'} = - k (y - T_{a})$ )، المتذبذب التوافقي ( $y^{''} + ω^{2} y = 0$ ). التعرف على النموذج يحدد مباشرة شكل الحل.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المعادلات التفاضلية

النوع 1: حل $y^{'} = a y$ (معادلة خطية متجانسة من الرتبة الأولى)

متى؟ المعادلة على الشكل $y^{'} = a y$ (أو $y^{'} - a y = 0$ ) حيث $a$ ثابت حقيقي.

تحديد المعامل $a$ .
كتابة الحل العام مباشرة: $y (x) = K e^{a x}$ ، حيث $K \in R$ ثابت اعتباطي.
تحديد أن الحلول معرفة على $R$ .

مثال سريع: $y^{'} = 3 y \Rightarrow y (x) = K e^{3 x}$ ، $K \in R$ .

النوع 2: حل $y^{'} = a y + b$ (خطية من الرتبة الأولى مع طرف ثان ثابت)

متى؟ المعادلة هي $y^{'} = a y + b$ حيث $a \neq = 0$ و $b$ ثابتان.

البحث عن حل جزئي ثابت $y_{p}$ : نضع $y_{p}^{'} = 0$ ، ومنه $0 = a y_{p} + b$ و $y_{p} = - \frac{b}{a}$ .
حل المعادلة المتجانسة المرتبطة $y^{'} = a y$ : الحلول $K e^{a x}$ .
الحل العام = متجانس + جزئي: $y (x) = K e^{a x} - \frac{b}{a}$ ، $K \in R$ .

مثال سريع: $y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y_{p} = - 2$ و $y (x) = K e^{2 x} - 2$ .

النوع 3: حل $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (مذبذب، جذور عقدية)

متى؟ معادلة من الرتبة الثانية على الشكل $y^{''} + ω^{2} y = 0$ حيث $ω > 0$ .

كتابة المعادلة المميزة $r^{2} + ω^{2} = 0$ .
الحل: $r^{2} = - ω^{2}$ ، جذور عقدية $r = \pm i ω$ .
إعطاء الحل العام: $y (x) = A cos (ω x) + B sin (ω x)$ ، حيث $A, B \in R$ .

مثال سريع: $y^{''} + 9 y = 0 \Rightarrow ω = 3$ و $y (x) = A cos (3 x) + B sin (3 x)$ .

النوع 4: حل $y^{''} = a y^{'} + b y$ عبر المعادلة المميزة (جذور حقيقية)

متى؟ المعادلة $y^{''} - a y^{'} - b y = 0$ التي معادلتها المميزة لها مميز $Δ > 0$ .

كتابة المعادلة المميزة $r^{2} - a r - b = 0$ .
حساب $Δ = a^{2} + 4 b$ ؛ إذا كان $Δ > 0$ ، جذران حقيقيان متمايزان $r_{1}, r_{2}$ .
الحل العام: $y (x) = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}$ ، $A, B \in R$ .

مثال سريع: $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0 \Rightarrow r^{2} - 5 r + 6 = 0$ ، $r_{1} = 2, r_{2} = 3$ ، $y (x) = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ .

النوع 5: حل الرتبة الثانية في حالة $Δ = 0$ (جذر مضاعف)

متى؟ المعادلة المميزة $r^{2} + p r + q = 0$ لها مميز معدوم.

كتابة المعادلة المميزة وحساب $Δ = p^{2} - 4 q$ .
إذا كان $Δ = 0$ ، جذر مضاعف $r_{0} = - \frac{p}{2}$ .
الحل العام: $y (x) = (A x + B) e^{r_{0} x}$ ، $A, B \in R$ .

مثال سريع: $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0 \Rightarrow r = 2$ (مضاعف)، $y (x) = (A x + B) e^{2 x}$ .

النوع 6: الرتبة الثانية، حالة الجذور العقدية $Δ < 0$

متى؟ المعادلة المميزة لها مميز سالب قطعا (جذور عقدية مترافقة).

كتابة المعادلة المميزة وحساب $Δ < 0$ .
تحديد الجذور $r = α \pm i β$ حيث $α = - \frac{p}{2}$ و $β = \frac{- Δ}{2}$ .
الحل العام: $y (x) = e^{α x} (A cos (β x) + B sin (β x))$ ، $A, B \in R$ .

مثال سريع: $y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = 0 \Rightarrow r = 1 \pm 2 i$ ، $y (x) = e^{x} (A cos (2 x) + B sin (2 x))$ .

النوع 7: تحديد الحل الذي يحقق شروطا ابتدائية

متى؟ يُعطى $y (x_{0})$ (و $y^{'} (x_{0})$ للرتبة 2) ونبحث عن الحل الوحيد.

كتابة الحل العام (مع $K$ ، أو $A$ و $B$ ).
عند الحاجة، حساب $y^{'} (x)$ بالاشتقاق من التعبير العام.
تعويض $x$ بـ $x_{0}$ في $y$ (و $y^{'}$ ) ووضع جملة المعادلات المعطاة بالشروط.
حل الجملة لإيجاد الثوابت، ثم كتابة الحل الوحيد.

مثال سريع: $y^{'} = 2 y$ ، $y (0) = 5 \Rightarrow y = K e^{2 x}$ و $K = 5$ ، إذن $y (x) = 5 e^{2 x}$ .

النوع 8: مسألة مرجعة إلى معادلة تفاضلية (تغيير دالة)

متى؟ ينص التمرين على $z = y e^{- a x}$ ، أو $z = \frac{1}{y}$ ، إلخ، لتحويل معادلة إلى معادلة معروفة.

وضع تغيير الدالة المقترح والتعبير عن $z^{'}$ (أو $z^{''}$ ) بدلالة $y, y^{'}$ .
التعويض في المعادلة الأصلية للحصول على معادلة بسيطة في $z$ ( $z^{'} = a z$ ، $z^{'} = a z + b$ …).
حل المعادلة في $z$ بالأنواع السابقة.
العودة إلى $y$ بعكس تغيير الدالة.
تطبيق الشروط الابتدائية إن وجدت.

مثال سريع: $y^{'} = y + e^{x}$ ، نضع $z = y e^{- x}$ : إذن $z^{'} = 1$ ، ومنه $z = x + C$ و $y = (x + C) e^{x}$ .

Équations différentielles — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

67 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 67 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

المعادلة التفاضلية y' = ay

Facile

Énoncé

حل في $R$ المعادلات التفاضلية التالية:

y' = 2y
y' + 3y = 0
2y' − 5y = 0
y' = −y, مع y(0) = 4

Ma réponse

Équations différentielles

Équations différentielles — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. المصطلحات

تعريف

II. المعادلة y′=ay (متجانسة، من الرتبة 1، معاملات ثابتة)

حل

شرط أولي

مثال

III. المعادلة y′+ay=b (مع طرف ثان ثابت)

حل

مبدأ التراكب

IV. المعادلة y′′+ω2y=0 (المذبذب التوافقي)

حل

الشروط الأولية

مثال — النواس

V. المعادلة y′′−ω2y=0

حل

VI. المعادلة y′′+ay′+by=0 (من الرتبة 2، معاملات ثابتة)

طريقة — المعادلة المميزة

مثال

VII. تطبيقات فيزيائية

التفكك الإشعاعي

التبريد (قانون نيوتن)

تذبذبات حرة لنواس

VIII. طريقة الحل العامة

الخطوات الموصى بها

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — المعادلات التفاضلية

النوع 1: حل y′=ay (معادلة خطية متجانسة من الرتبة الأولى)

النوع 2: حل y′=ay+b (خطية من الرتبة الأولى مع طرف ثان ثابت)

النوع 3: حل y′′+ω2y=0 (مذبذب، جذور عقدية)

النوع 4: حل y′′=ay′+by عبر المعادلة المميزة (جذور حقيقية)

النوع 5: حل الرتبة الثانية في حالة Δ=0 (جذر مضاعف)

النوع 6: الرتبة الثانية، حالة الجذور العقدية Δ<0

النوع 7: تحديد الحل الذي يحقق شروطا ابتدائية

النوع 8: مسألة مرجعة إلى معادلة تفاضلية (تغيير دالة)

Équations différentielles — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

المعادلة التفاضلية y' = ay

معادلة y' + ay = b

معادلة y'' + ω²y = 0

معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية متجانسة

المعادلة y' + 3y = 0 مع الشرط الأولي

معادلة تفاضلية y' − 2y = 4

Résolution de y'' + ay' + by = 0 avec conditions initiales (trois cas)

نص التمرين

Résolution d'équations du second ordre à coefficients constants

نص التمرين

Trois équations linéaires du second ordre avec conditions initiales

نص التمرين

معادلة تفاضلية بطرف ثان ثابت

حل معادلة تفاضلية بسيطة وشرط بدئي

حل معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى

حل معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى

الشرط البدئي ووحدانية الحل

حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى متجانسة

معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى

معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى بطرف ثان

حل معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى متجانسة

المعادلة التفاضلية y' = ay دراسة وتطبيق

Exercices Intermédiaires

التفكك الإشعاعي

قانون نيوتن للتبريد

متذبذب مع شروط بدئية

معادلة من الدرجة الثانية

المعادلة التفاضلية y' + y = eˣ

مسألة نمو السكان

معادلة تفاضلية y'' − 3y' + 2y = 0

Solution particulière polynomiale de y'' + 3y' + 2y = 6x² + 4x − 1

نص التمرين

Équation avec second membre : y'' − 4y' = 12eˣ − 12 et condition initiale

نص التمرين

Une fonction dont la dérivée est sa réflexion

II. المعادلة $y^{'} = a y$ (متجانسة، من الرتبة 1، معاملات ثابتة)

III. المعادلة $y^{'} + a y = b$ (مع طرف ثان ثابت)

IV. المعادلة $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (المذبذب التوافقي)

V. المعادلة $y^{''} - ω^{2} y = 0$

VI. المعادلة $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ (من الرتبة 2، معاملات ثابتة)

النوع 1: حل $y^{'} = a y$ (معادلة خطية متجانسة من الرتبة الأولى)

النوع 2: حل $y^{'} = a y + b$ (خطية من الرتبة الأولى مع طرف ثان ثابت)

النوع 3: حل $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (مذبذب، جذور عقدية)

النوع 4: حل $y^{''} = a y^{'} + b y$ عبر المعادلة المميزة (جذور حقيقية)

النوع 5: حل الرتبة الثانية في حالة $Δ = 0$ (جذر مضاعف)

النوع 6: الرتبة الثانية، حالة الجذور العقدية $Δ < 0$