Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. معلم متعامد ممنظم في الفضاء

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O; i, j, k)$ . كل متجهة $u$ تكتب بطريقة وحيدة $u = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k$ ، ونرمز لها بـ $u (x, y, z)$ .

كل نقطة M تحدد بإحداثياتها (x, y, z) بحيث $O M = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k$ .

II. الجداء السلمي

ليكن $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ . الجداء السلمي هو :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

لدينا أيضا $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v)$ .

المعيار : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

التعامد : $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .

III. الجداء المتجهي

ليكن $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ . الجداء المتجهي $u \land v$ هو المتجهة التي إحداثياتها :

$u \land v = (y z^{'} - z y^{'}; z x^{'} - x z^{'}; x y^{'} - y x^{'})$

خاصيات :

$u \land v = - v \land u$ (خاصية مضاد التماثل).
$u \land v$ متعامدة مع $u$ ومع $v$ .
$u \land v = 0 \Leftrightarrow u$ و $v$ مستقيميتان.
$∥ u \land v ∥ = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot ∣ sin (u, v) ∣$ .
مساحة متوازي الأضلاع ABDC = $∥ A B \land A C ∥$ . مساحة المثلث ABC = $\frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$ .

IV. معادلة ديكارتية لمستوى

مستوى (P) ذو متجهة منظمية $n (a, b, c)$ يمر من A $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ معادلته هي :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

أي $a x + b y + cz + d = 0$ حيث $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ .

تحديد معادلة مستوى يمر من ثلاث نقط A, B, C غير مستقيمية :

احسب $n = A B \land A C$ (المتجهة المنظمية).
اكتب : $n \cdot A M = 0$ .

V. تمثيل بارامتري لمستقيم

المستقيم (D) المار من A $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ وذو المتجهة الموجهة $u (a, b, c)$ هو مجموعة النقط M $(x, y, z)$ بحيث :

$x = x_{0} + t a, y = y_{0} + t b, z = z_{0} + t c (t \in R)$

VI. المسافات

مسافة نقطة عن مستوى : بالنسبة لـ M $_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ و (P) : $a x + b y + cz + d = 0$ ,

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

مسافة نقطة عن مستقيم : بالنسبة لـ M $_{0}$ و (D) المار من A وذو المتجهة الموجهة $u$ ,

$d (M_{0}, D) = \frac{∥ A M _{0} \land u ∥}{∥ u ∥}$

VII. الفلكة

الفلكة التي مركزها Ω $(a, b, c)$ وشعاعها $R > 0$ معادلتها هي :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

معادلة من الشكل $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 α x - 2 β y - 2 γ z + δ = 0$ تمثل فلكة إذا وفقط إذا كان $α^{2} + β^{2} + γ^{2} - δ > 0$ , مركزها $(α, β, γ)$ وشعاعها $α^{2} + β^{2} + γ^{2} - δ$ .

تقاطع فلكة ومستوى : ليكن S مركزها Ω، شعاعها R، و P مستوى. نضع $d = d (Ω, P)$ .

إذا كان $d > R$ : التقاطع فارغ.
إذا كان $d = R$ : P مماس لـ S (التقاطع = نقطة واحدة).
إذا كان $d < R$ : التقاطع هو دائرة شعاعها $r = R^{2} - d^{2}$ ومركزها H (المسقط العمودي لـ Ω على P).

VIII. الأوضاع النسبية

مستويان ذوا متجهتين منظميتين $n$ و $n^{'}$ :

متوازيان $\Leftrightarrow$ $n$ و $n^{'}$ مستقيميتان.
متعامدان $\Leftrightarrow$ $n \cdot n^{'} = 0$ .

مستقيم ومستوى بمتجهة موجهة $u$ ومتجهة منظمية $n$ :

متوازيان $\Leftrightarrow$ $u \cdot n = 0$ .
متعامدان $\Leftrightarrow$ $u$ و $n$ مستقيميتان.

📈 Figure clé

Repère de l'espace

(O; i, j, k)

🔑 Formules clés à retenir

الجداء السلمي: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$
الجداء المتجهي: $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}, z x^{'} - x z^{'}, x y^{'} - y x^{'})$
مساحة المثلث (ABC) = $\frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$
المسافة $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
المسافة $d (M_{0}, D) = \frac{∥ A M _{0} \land u ∥}{∥ u ∥}$
الفلكة: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
تقاطع $S \cap P$ : دائرة شعاعها $R^{2} - d^{2}$ إذا كان $d < R$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الجداء المتجهي غير تبادلي: $u \land v = - v \land u$ . الترتيب مهم! تغيير الترتيب يعكس إشارة كل مركبة. يختلف تمامًا عن الجداء السلمي (التبادلي)!

❌

مستوى عمودي على مستقيم: إذا كان للمستقيم متجهة موجهة $u$ ، فإن المستوى العمودي عليه تكون $u$ متجهة منظمية له. المستوى العمودي على مستقيم يحتوي على جميع الاتجاهات المتعامدة مع $u$ .

❌

مسافة نقطة عن مستوى — لا تنس القيمة المطلقة: $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . يمكن أن يكون البسط سالبًا بدون القيمة المطلقة، مما يعطي مسافة سالبة (وهو أمر مستحيل!).

🟢 نصائح احترافية

✅

إيجاد متجهة منظمية لمستوى: إذا كنت تعرف متجهتين موجهتين للمستوى ( $u$ و $v$ )، فإن جداءهما المتجهي $u \land v$ يكون منظميًا على المستوى. مفيد جدًا لإيجاد معادلة المستوى!

✅

تقاطع فلكة ومستوى — الطريقة: احسب $d = المسافة(المركز, المستوى)$ . إذا كان $d < R$ ← دائرة نصف قطرها $r = R^{2} - d^{2}$ . إذا كان $d = R$ ← تماس. إذا كان $d > R$ ← تقاطع فارغ. صيغة $d (المركز, المستوى)$ تطبق مباشرة.

💡

مساحة مثلث في الفضاء ثلاثي الأبعاد: $المساحة (A B C) = \frac{1}{2} \cdot ∥ A B \land A C ∥$ . احسب الجداء المتجهي، ثم معياره. أسرع بكثير من الصيغة التي تتضمن الزاوية إذا كانت لديك إحداثيات النقط.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1 : حساب الجداء السلمي واستخدامه (التعامد، الزاوية)

متى؟ نريد إثبات أن شعاعين متعامدان، حساب زاوية، أو استغلال $u \cdot v$ .

إعطاء إحداثيات $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ في معلم متعامد ومتجانس.
حساب $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
للتعامد: $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
للزاوية: استخدام $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ مع $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

مثال سريع: $u (1, 2, - 1)$ ، $v (2, - 1, 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ ، إذن $u ⊥ v$ .

النوع 2 : حساب الجداء الشعاعي $u \land v$ ومساحة مثلث

متى؟ نبحث عن شعاع ناظمي لمستوى، أو مساحة متوازي أضلاع/مثلث.

كتابة إحداثيات $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ .
حساب $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}, z x^{'} - x z^{'}, x y^{'} - y x^{'})$ .
التذكير بأن $u \land v$ متعامد مع $u$ ومع $v$ (مفيد كشعاع ناظمي).
مساحة المثلث $A B C$ : $A = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$ .

مثال سريع: $u (1, 0, 0)$ ، $v (0, 1, 0)$ : $u \land v = (0, 0, 1)$ ، مساحة المثلث المرتبط $= \frac{1}{2}$ .

النوع 3 : تحديد المعادلة الديكارتية لمستوى

متى؟ نعرف نقطة وشعاعاً ناظمياً، أو ثلاث نقاط من المستوى.

الحصول على شعاع ناظمي $n (a, b, c)$ : إما معطى، أو $n = A B \land A C$ لثلاث نقاط.
كتابة المعادلة على الشكل $a x + b y + cz + d = 0$ .
تحديد $d$ بتعويض إحداثيات نقطة معلومة من المستوى.
التحقق بتعويض نقطة أخرى معلومة.

مثال سريع: $A (1, 0, 0)$ ، ناظمي $n (2, 1, 3)$ : $2 x + y + 3 z + d = 0$ ، مع $A$ : $2 + d = 0$ ، $d = - 2$ ، المستوى $2 x + y + 3 z - 2 = 0$ .

النوع 4 : تحديد تمثيل بارامتري لمستقيم

متى؟ نعرف نقطة وشعاعاً موجهاً، أو نقطتين من المستقيم.

اختيار نقطة $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ من المستقيم وشعاع موجه $u (a, b, c)$ (مثلاً $A B$ ).
كتابة $M (x, y, z) \in (D) ⟺ A M = t u$ ، $t \in R$ .
استنتاج الجملة: $x = x_{0} + t a$ ، $y = y_{0} + t b$ ، $z = z_{0} + t c$ .
للانتقال إلى مستقيم كتقاطع مستويين، حذف المعامل $t$ .

مثال سريع: $A (1, 2, 0)$ ، $u (1, 0, 3)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = 3 t$ ، $t \in R$ .

النوع 5 : حساب مسافة (نقطة–مستوى، نقطة–مستقيم)

متى؟ يُطلب المسافة من نقطة $A$ إلى مستوى $(P)$ أو إلى مستقيم $(D)$ .

نقطة–مستوى: للمستوى $(P) : a x + b y + cz + d = 0$ والنقطة $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ ، تطبيق $d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
نقطة–مستقيم: أخذ نقطة $B$ وموجه $u$ من $(D)$ ، ثم $d (A, D) = \frac{∥ B A \land u ∥}{∥ u ∥}$ .
حساب المعيار في المقام بعناية.
الاستنتاج بالقيمة (الموجبة) المحصل عليها.

مثال سريع: $A (0, 0, 0)$ ، $(P) : 2 x + y + 2 z - 6 = 0$ : $d = \frac{∣ - 6∣}{4 + 1 + 4} = \frac{6}{3} = 2$ .

النوع 6 : تحديد معادلة كرة ودراسة كرة–مستوى

متى؟ نبحث عن معادلة كرة، مركزها/نصف قطرها، أو تقاطع كرة ومستوى.

كرة مركزها $Ω (α, β, γ)$ ونصف قطرها $R$ : $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = R^{2}$ .
للشكل المفكك $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ ، التجميع بالمربعات (الشكل القانوني) لقراءة $Ω$ و $R$ ؛ التحقق من $R^{2} > 0$ .
تقاطع كرة/مستوى: مقارنة $d (Ω, P)$ و $R$ : إذا $d < R$ دائرة (نصف قطرها $r = R^{2} - d^{2}$ )، إذا $d = R$ نقطة (مستوى مماس)، إذا $d > R$ فارغ.

مثال سريع: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ : المركز $(1, 0, 0)$ ، نصف القطر $1$ .

النوع 7 : دراسة الأوضاع النسبية (مستويات، مستقيمات، مستقيم–مستوى)

متى؟ يُطلب ما إذا كان مستويان متوازيان/متقاطعان، أو وضع مستقيم ومستوى.

مستويان: مقارنة الشعاعين الناظميين $n_{1}, n_{2}$ : متساويا الاتجاه $\Rightarrow$ متوازيان (متطابقان إذا كانت المعادلة نفسها)، وإلا متقاطعان وفق مستقيم.
مستقيم ومستوى: مقارنة الموجه $u$ والناظمي $n$ : إذا $u \cdot n = 0$ ، المستقيم موازٍ للمستوى (مضمن إذا كانت نقطة تنتمي إليه)، وإلا متقاطعان في نقطة.
مستقيمان: النظر في تساوي اتجاه الموجهين، ثم وجود نقطة مشتركة (متحدا المستوى أم لا).

مثال سريع: $(P) : x + y + z = 1$ ، $(Q) : 2 x + 2 y + 2 z = 5$ : $n_{2} = 2 n_{1}$ والمعادلتان غير متناسبتين $\Rightarrow$ المستويان متوازيان تماماً.

النوع 8 : تحديد تقاطع (مستقيم–مستوى، مستوى–مستوى)

متى؟ نريد إحداثيات نقطة التقاطع، أو معادلة مستقيم تقاطع مستويين.

مستقيم–مستوى: تعويض التمثيل البارامتري $(x, y, z)$ للمستقيم في معادلة المستوى، الحل في $t$ ، ثم تعويض $t$ للحصول على النقطة.
مستوى–مستوى: حل جملة المعادلتين الديكارتيتين ؛ اختيار معامل حر (غالباً $z = t$ ) والتعبير عن $x, y$ بدلالة $t$ .
كتابة النتيجة على شكل بارامتري (مستقيم) بقراءة نقطة وموجه.
التحقق من النتيجة في المعادلتين.

مثال سريع: المستقيم $⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 0 z = 0$ والمستوى $(P) : x - 1 = 0$ : $t = 1$ ، التقاطع عند النقطة $(1, 0, 0)$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

87 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 87 corrigés

Exercices Faciles

34 exercices

حجم الهرم

Facile

Énoncé

هرم قاعدته مربعة الشكل، طول ضلعه $6$ cm وارتفاعه $8$ cm. أحسب حجمه.

Ma réponse

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. معلم متعامد ممنظم في الفضاء

II. الجداء السلمي

III. الجداء المتجهي

IV. معادلة ديكارتية لمستوى

V. تمثيل بارامتري لمستقيم

VI. المسافات

VII. الفلكة

VIII. الأوضاع النسبية

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1 : حساب الجداء السلمي واستخدامه (التعامد، الزاوية)

النوع 2 : حساب الجداء الشعاعي u∧v ومساحة مثلث

النوع 3 : تحديد المعادلة الديكارتية لمستوى

النوع 4 : تحديد تمثيل بارامتري لمستقيم

النوع 5 : حساب مسافة (نقطة–مستوى، نقطة–مستقيم)

النوع 6 : تحديد معادلة كرة ودراسة كرة–مستوى

النوع 7 : دراسة الأوضاع النسبية (مستويات، مستقيمات، مستقيم–مستوى)

النوع 8 : تحديد تقاطع (مستقيم–مستوى، مستوى–مستوى)

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

حجم الهرم

حجم ومساحة الفلكة

حساب الحجوم: الهرم، المخروط، الكرة

الهرم المنتظم ومقاطعه المستوية

متوازي المستطيلات القائم - التعامد والجداء السلمي

الهرم داخل متوازي المستطيلات — التعامد والحجوم

هرم قاعدته مربعة - الحجم والارتفاع

أسطوانة ومخروط محاط وتحسين الحجم

متوازي المستطيلات والمقطع المستوي

هرم قاعدته مربعة – المساحة والحجم

متوازي المستطيلات والمقطع المستوي

مخروط داخل أسطوانة

تقاطع مستقيم ومستوى

الزاوية الزوجية بين مستويين

إحداثيات نقطة

إحداثيات نقطة

المسافة بين نقطتين

الجداء السلمي

تعامد متجهتين

إحداثيات نقطة

الجداء السلمي

الجداء السلمي

معيار متجهة

تعامد متجهتين

إحداثيات نقطة

معيار متجهة

استقامية المتجهات

تعامد متجهتين

الجداء السلمي

معيار متجهة

تعامد متجهتين

إحداثيات نقطة في الفضاء

تعامد المتجهات

معيار متجهة

Exercices Intermédiaires

مبرهنة المستقيمات الثلاثة المتعامدة

حجم المخروط والأسطوانة

مقطع هرم بمستو مواز للقاعدة

دراسة مخروط وكرة محاطة - أمثلية هندسية

مخروط و كرة محاطة - تحسين الحجم

رباعي الأوجه المنتظم — المستوى الواسطي ومعادلة المستوى

المعلم في الفضاء، معادلة مستوى ومسافة

الكرة والمخروط والتحسين - مسألة إنشاء

الفلكة والمخروط وتحسين الحجم

الموشور القائم ذو القاعدة المثلثية والكرة المحاطة

هرم قاعدته مربعة — مقطع وحجم

أسطوانة ومخروط محاطان – أمثلية الحجم

تقاطع مستويين

منتصف قطعة

حجم الموشور القائم

النوع 2 : حساب الجداء الشعاعي $u \land v$ ومساحة مثلث