التمرين 2 – متتالية هندسية

نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة بـ: $v_0=4$ و، من أجل كل $n\in \mathbb{N}$، $v_{n+1}=\frac{3}{2}\times v_n$.

1. بين أن $(v_n)$ متتالية هندسية مع تحديد الحد الأول والأساس.
2. عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.
3. احسب $v_5$. اترك الجواب على شكل كسر غير قابل للاختزال.
4. نضع $S_n=v_0+v_1+...+v_n$.
   a) عبر عن $S_n$ بدلالة $n$.
   b) حدد نهاية $S_n$ عندما $n\to +\infty$. استنتج.

يضع شخص مبلغ 20 000 درهم في حساب توفير بفائدة مركبة بسعر سنوي قدره 4%.

نرمز بـ $v_n$ إلى الرأسمال (بالدرهم) المتوفر في هذا الحساب بعد n سنة.

1. بين أن المتتالية ($v_n$) هي متتالية هندسية، مع تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $v_n$ بدلالة n.
3. احسب الرأسمال المتوفر بعد 5 سنوات. قرب إلى الوحدة.
4. بعد كم سنة سيتضاعف الرأسمال على الأقل؟ سنستخدم حقيقة أن $\log (1,04)\approx 0,0170$.

ينتج حرفي بالدار البيضاء تحفا يدوية. في الأسبوع الأول، أنتج 12 تحفة. وفي كل أسبوع لاحق، يزيد إنتاجه بـ 5 تحف.

نرمز بـ $u_n$ إلى عدد التحف المنتجة خلال الأسبوع (n+1)، حيث $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن المتتالية ($u_n$) هي متتالية حسابية، مع تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة n.
3. احسب العدد الإجمالي للتحف المنتجة خلال الأسابيع العشرة الأولى (من الأسبوع 1 إلى الأسبوع 10).
4. ابتداءً من أي أسبوع يتجاوز الإنتاج الأسبوعي 100 تحفة؟

التمرين 1 – المتتالية الحسابية والادخار

يفتح أحد سكان الرباط حساب ادخار. في الشهر الأول، يودع 500 درهم. في كل شهر لاحق، يزيد مبلغ إيداعه بـ 150 درهماً مقارنة بالشهر السابق.

نرمز بـ $u_n$ إلى المبلغ المودع (بالدرهم) خلال الشهر (n+1)، بحيث $u_0=500$.

1. بين أن المتتالية $(u_n)$ حسابية وحدد أساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة n.
3. احسب المبلغ المودع خلال الشهر الثاني عشر.
4. نرمز بـ $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$ إلى المبلغ الإجمالي المدخر بعد (n+1) شهراً.
   أ) عبر عن $S_n$ بدلالة n.
   ب) حدد أصغر عدد صحيح n بحيث $S_n\ge 30000$ درهم.

التمرين 1 — المتتالية الحسابية والادخار

قرر أحد سكان الدار البيضاء ادخار مبلغ من المال كل شهر. في يناير (الشهر رقم 1)، ادخر 500 درهم. في كل شهر لاحق، يزيد مدخراته بمقدار 150 درهمًا مقارنة بالشهر السابق.

نرمز بـ $u_n$ للمبلغ المدخر (بالدرهم) خلال الشهر n، من أجل $n\ge 1$.

1. بين أن المتتالية $(u_n)$ هي متتالية حسابية، مع تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة $n$.
3. احسب المبلغ الإجمالي المدخر بعد 12 شهرًا (من يناير إلى ديسمبر).
4. ابتداءً من أي شهر سيتجاوز ادخاره الشهري 2000 درهم؟

التمرين 2 — المتتالية الهندسية والترجع

نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة بما يلي: $v_0=3$ ولكل $n\in \mathbb{N}$، $v_{n+1}=2\times v_n$.

1. احسب $v_1$, $v_2$, $v_3$. ما هي التخمينات التي يمكن صياغتها حول طبيعة المتتالية $(v_n)$؟
2. برهن بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$: $v_n=3\times 2^n$.
3. احسب المجموع $S_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ بدلالة $n$.
4. حدد أصغر عدد صحيح طبيعي $n$ بحيث $S_n>10000$.

يصنع حرفي من الرباط تحفاً يدوية. في الأسبوع الأول، أنتج 12 تحفة. في كل أسبوع لاحق، يزيد إنتاجه بـ 3 تحف.

1. بين أن المتتالية ($u_n$)، حيث $u_n$ يمثل عدد التحف المنتجة في الأسبوع من الرتبة n (مع $n\in \mathbb{N}$، و $n=0$ يوافق الأسبوع الأول)، هي متتالية حسابية يجب تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة n.
3. احسب العدد الإجمالي للتحف المنتجة خلال الأسابيع العشرة الأولى (من الأسبوع 0 إلى الأسبوع 9).
4. ابتداءً من أي أسبوع يتجاوز الإنتاج الأسبوعي 50 تحفة؟

يضع أحد سكان الدار البيضاء مبلغ 5000 درهم في حساب توفير. يتضاعف رأس المال كل سنة بمعامل 1,04 (معدل سنوي قدره 4%).

نرمز بـ $u_n$ إلى رأس المال (بالدرهم) المتوفر بعد n سنة.

1. بين أن المتتالية ($u_n$) هي متتالية هندسية، مع تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة n.
3. احسب رأس المال بعد 5 سنوات. قرب إلى أقرب عشرة دراهم.
4. بعد كم سنة يتجاوز رأس المال 8000 درهم؟ (نعتبر أن $\log (1,6)\approx 0,204$ و $\log (1,04)\approx 0,017$.)

تدفع شركة بالدار البيضاء لأحد موظفيها راتبًا شهريًا قدره 8000 درهم عند توظيفه (الشهر 0). يزداد راتبه كل شهر بمقدار 150 درهمًا.

نرمز بـ $u_n$ لراتب الموظف في الشهر n ($n\in \mathbb{N}$).

1. طبيعة المتتالية: بين أن المتتالية ($u_n$) حسابية. حدد حدها الأول وأساسها.
2. الحد العام: عبر عن $u_n$ بدلالة n.
3. العتبة: ابتداءً من أي شهر سيتجاوز راتب الموظف 12500 درهم؟
4. المجموع التراكمي: احسب المجموع الكلي للرواتب التي تقاضاها الموظف خلال 24 شهرًا الأولى (من الشهر 0 إلى الشهر 23 ضمنًا).

التمرين 1

نعتبر المتتالية $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $u_0=5$ و $u_{n+1}=u_n+3$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $(u_n)$ متتالية حسابية محددا أساسها وحدها الأول.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة $n$.
3. احسب $u_{20}$.
4. احسب المجموع $S=u_0+u_1+\dots +u_{20}$.

التمرين 2

نعتبر المتتالية $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بـ: $v_n=4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $(v_n)$ متتالية هندسية مع تحديد أساسها وحدها الأول.
2. احسب $v_3$ و $v_{10}$.
3. احسب المجموع $S_n=v_0+v_1+...+v_n$.
4. عين نهاية $v_n$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$. هل المتتالية متقاربة؟

التمرين 2

نعتبر المتتالية $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بـ: $v_0=4$ و $v_{n+1}=\frac{1}{2}\times v_n$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $(v_n)$ متتالية هندسية مع تحديد أساسها وحدها الأول.
2. عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.
3. احسب $S_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$.
4. عين نهاية $v_n$ ونهاية $S_n$ عندما $n\to +\infty$.

التمرين 2

نعتبر المتتالية $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة لكل $n\in \mathbb{N}$ بـ: $v_n=4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

1. بين أن $(v_n)$ متتالية هندسية مع تحديد أساسها وحدها الأول.
2. احسب $v_0$، $v_1$، $v_2$ و $v_3$. هل المتتالية متزايدة أم متناقصة؟
3. احسب المجموع $S_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ بدلالة $n$.
4. عين نهاية $v_n$ عندما $n\to +\infty$. هل المتتالية متقاربة؟

وضع تاجر من مراكش رأسمال قدره 20 000 درهم في حساب بنكي بسعر فائدة سنوي قدره 5 %.

نرمز بـ $v_n$ إلى الرأسمال (بالدرهم) المتوفر في الحساب بعد n سنة.

1. عبر عن $v_{n+1}$ بدلالة $v_n$. استنتج أن ($v_n$) متتالية هندسية مع تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $v_n$ بدلالة n.
3. احسب $v_{10}$ (قرب إلى الوحدة). يؤكد التاجر أن رأسماله سيتضاعف أكثر من مرتين بعد 10 سنوات. هل هو على حق؟
4. حدد أصغر عدد صحيح طبيعي n بحيث $v_n\ge 60000$. سنعتبر أن $\log (1,05)\approx 0,0212$.

التمرين 1

نعتبر المتتالية $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $u_0=5$ و $u_{n+1}=u_n+3$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $(u_n)$ متتالية حسابية محددا أساسها وحدها الأول.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة $n$.
3. احسب المجموع $S=u_0+u_1+...+u_{19}$.
4. حدد أصغر عدد صحيح طبيعي $n$ بحيث $u_n>200$.

التمرين 1

نعتبر المتتالية $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي : $u_0=5$ و $u_{n+1}=u_n+3$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $(u_n)$ متتالية حسابية محددا أساسها وحدها الأول.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة $n$.
3. احسب المجموع $S=u_0+u_1+...+u_{19}$.
4. حدد الرتبة $n$ التي ابتداء منها يكون $u_n>200$.

التمرين 2

يضع أحد سكان الدار البيضاء رأسمال قدره 20 000 درهم في بنك يقترح عليه سعر فائدة سنوي قدره 4 %. يتم رسملة الفوائد كل سنة.

نرمز بـ $C_n$ للرأسمال المتوفر (بالدرهم) بعد n سنة.

1. عبر عن $C_{n+1}$ بدلالة $C_n$. استنتج أن ($C_n$) متتالية هندسية يجب تحديد أساسها وحدها الأول.
2. عبر عن $C_n$ بدلالة n.
3. احسب $C_5$ (قرب إلى رقمين بعد الفاصلة). فسر النتيجة.
4. بعد كم سنة سيتضاعف الرأسمال على الأقل؟ (نذكر أن $\log (1,04)\approx 0,01703$ و $\log (2)\approx 0,30103$.)

يتقاضى موظف بنكي بالدار البيضاء راتبًا شهريًا قدره 8000 درهم في السنة الأولى. يزداد راتبه كل سنة بمقدار 400 درهم.

نرمز بـ $u_n$ للراتب الشهري (بالدرهم) لهذا الموظف خلال السنة (n+1)، حيث $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن المتتالية ($u_n$) هي متتالية حسابية، مع تحديد حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة n.
3. بعد كم سنة سيتجاوز الراتب الشهري 14000 درهم؟
4. احسب المجموع $S=u_0+u_1+\dots +u_{14}$، الذي يمثل مجموع الرواتب الشهرية على مدى 15 سنة متتالية.

تمرين — المتتاليات العددية (المستوى: سهل)

يصنع حرفي من مراكش أواني فخارية. في الأسبوع الأول، ينتج 12 إناءً فخارياً. في كل أسبوع لاحق، ينتج 3 أوانٍ فخارية إضافية عن الأسبوع السابق.

نرمز بـ $u_n$ إلى عدد الأواني الفخارية المنتجة خلال الأسبوع رقم n، حيث $n\in \mathbb{N}$ و $n\ge 1$، ونضع $u_1=12$.

1. طبيعة المتتالية:
   أ) بين أن المتتالية $(u_n)$ حسابية وحدد أساسها r وحدها الأول $u_1$.
   ب) أعط تعبير $u_n$ بدلالة n.
2. حسابات:
   أ) احسب عدد الأواني الفخارية المنتجة خلال الأسبوع العاشر.
   ب) ابتداءً من أي أسبوع سينتج الحرفي أكثر من 60 إناءً فخارياً في الأسبوع؟
3. المجموع:
   يبيع الحرفي كل إناء فخاري بـ 85 درهماً. احسب رقم المعاملات الإجمالي المحقق خلال الأسابيع الثمانية الأولى من الإنتاج.

التمرين 2 — المتتالية الهندسية

نعتبر المتتالية $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $v_0=4$ و $v_{n+1}=\frac{3}{2}\times v_n$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $(v_n)$ متتالية هندسية محددا أساسها وحدها الأول.
2. عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.
3. احسب المجموع $S_n=v_0+v_1+v_2+\dots +v_n$ بدلالة $n$. بسّط النتيجة.
4. ادرس رتابة المتتالية $(v_n)$ وحدد نهايتها.

التمرين 1 — المتتالية الحسابية والادخار

قرر حرفي من مراكش ادخار مبلغ ثابت إضافي كل شهر. في الشهر الأول (الشهر 1)، ادخر 500 درهم. وفي كل شهر لاحق، يزيد مبلغ ادخاره بـ 150 درهماً.

نرمز بـ $u_n$ للمبلغ المدخر (بالدرهم) خلال الشهر رقم $n$، حيث $n\ge 1$.

1. بين أن المتتالية $(u_n)$ متتالية حسابية، محدداً حدها الأول وأساسها.
2. عبر عن $u_n$ بدلالة $n$.
3. احسب المبلغ الإجمالي المدخر بعد 12 شهراً (سنة كاملة).
4. ابتداءً من أي شهر سيتجاوز الادخار الشهري 2000 درهم؟

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{n\to +\infty }{\lim }(n^3-5n^2-6n+7)$
2. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}$
3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}$
4. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left((n+1{)}^{1/3}-(n-1{)}^{1/3}\right)$
5. لتكن $a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$. احسب نهايتها.

نعتبر المتتاليتين العدديتين المعرفتين بما يلي :

• $a_n=2\sqrt{n+1}-5$
• $b_n=\frac{5}{4}+\frac{3}{5n+3}$

1. بين أن المتتالية $(a_n)$ تزايدية.
2. بين أن المتتالية $(b_n)$ تناقصية.

الجزء 1. لتكن $(u_n)$ معرفة بما يلي: $u_0=4$ و $u_{n+1}=\frac{1}{4}{u}_n+6$.

1. بين بالترجع أن $u_n=8-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ لكل $n\ge 1$.

الجزء 2. لتكن $(v_n)$ معرفة بما يلي: $v_0=1$ و $v_{n+1}=\sqrt{v_n^2+2n+3}$.

2. بين أن $(v_n^2)$ متتالية حسابية، ثم عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بما يلي: $u_n=3n^2-5n+2$.

1. احسب $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ و $u_4$.
2. احسب $u_{n+1}-u_n$. هل المتتالية حسابية؟
3. هل المتتالية هندسية؟

لتكن $(u_n)$ متتالية حسابية أساسها $r=4$ وحدها الأول $u_0=-3$.

1. عبر عن $u_n$ بدلالة $n$.
2. احسب $u_{10}$ و $u_{20}$.
3. احسب المجموع $S=u_0+u_1+\dots +u_{20}$.
4. حدد أصغر عدد صحيح طبيعي $n$ بحيث $u_n>100$.

لتكن $(v_n)$ متتالية هندسية أساسها $q=1/2$ وحدها الأول $v_0=16$.

1. عبر عن $v_n$ بدلالة $n$.
2. احسب $v_4$ و $v_8$.
3. احسب المجموع $S=v_0+v_1+\dots +v_n$.
4. احسب $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

نص التمرين

لكل عدد صحيح $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $u_k=\frac{1}{k(k+1)}$.

1. تحقق من أنه لكل $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $u_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

2. لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$. احسب $S_n$ بدلالة $n$، ثم حدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

نص التمرين

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_0=0$ و، من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=2u_n+3.$

1. أثبت بالترجع أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge n$.

2. استنتج $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

لكل عدد صحيح $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $U_k=\frac{1}{k(k+1)}$.

1. تحقق من أنه لكل $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $U_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

2. لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $S_n=\sum _{k=1}^n{U}_k$.

   1. احسب $S_n$ بدلالة $n$.

   2. عين $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=0$ و، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=2u_n+3$.

1. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge n$.

2. استنتج نهاية $(u_n)$.

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة من أجل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بـ:

$u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}.$

حدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

نص التمرين

لكل عدد صحيح $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $U_k=\frac{1}{k(k+1)}$.

1. تحقق من أنه لكل $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $U_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

2. لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $S_n=\sum _{k=1}^n{U}_k$.

   1. احسب $S_n$ بدلالة $n$.

   2. عين $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

نص التمرين

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=0$ و، من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=2u_n+3.$

1. بيّن أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge n$.

2. استنتج نهاية $(u_n)$.

المتتالية ($u_n$) معرفة بـ $u_0$ = 5 و u_{n+1} = $u_n$ + 3. احسب $u_5$.

المتتالية ($u_n$) حسابية حيث $u_0$ = 2 وأساسها r = 4. أحسب المجموع $S_4$ = $u_0$ + $u_1$ + $u_2$ + $u_3$ + $u_4$.

المتتالية ($u_n$) معطاة بالحدود $u_0$ = 7 و $u_1$ = 10 و $u_2$ = 13. ما هو أساس هذه المتتالية؟

المتتالية ($v_n$) معرفة بـ $v_0$ = 3 و v_{n+1} = 2 $\times$ $v_n$. احسب $v_4$.

نعتبر المتتالية ($v_n$) المعرفة بـ $v_0$ = 2 و v_{n+1} = 3 $\times$ $v_n$. أحسب $v_4$ والمجموع $S_4$ = $v_0$ + $v_1$ + $v_2$ + $v_3$ + $v_4$.

لتكن المتتالية ($u_n$) المعرفة بـ $u_0$ = 3 و u_{n+1} = $u_n$ + 5. أحسب $u_5$.

المتتالية ($w_n$) معرفة بـ $w_0$ = 10 و $w_{n+1}=w_n+4$. بين أن هذه المتتالية تزايدية.

لتكن المتتالية ($x_n$) المعرفة بـ $x_0$ = 7 و x_{n+1} = $x_n$ + 3. أحسب المجموع $S_3$ = $x_0$ + $x_1$ + $x_2$ + $x_3$.

متتالية حسابية معرفة بـ $u_0=2$ و $r=4$. احسب مجموع الحدود الستة الأولى لهذه المتتالية.

لتكن المتتالية المعرفة بـ $u_0=5$ و $u_{n+1}=u_n+3$. أحسب $u_5$.

لتكن المتتالية الحسابية المعرفة بـ $u_0=7$ و $r=2$. احسب مجموع الحدود العشرة الأولى $S_{10}$.

اعتبر المتتالية المعرفة بـ $u_n=\frac{1}{n}$. حدد نهاية هذه المتتالية عندما $n\to +\infty$.

لتكن المتتالية المعرفة بـ $u_0=3$ و $u_{n+1}=2u_n$. أحسب $u_4$.

نعتبر المتتالية العددية المعرفة بما يلي: $u_0=5$ و $u_{n+1}=u_n+3$. أحسب الحد $u_5$.

نعتبر المتتالية ($u_n$) المعرفة بـ $u_0=3$ و $u_{n+1}=u_n+5$. أحسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية.

المتتالية ($u_n$) حسابية حيث $u_0=2$ و $r=3$. احسب $S_5$, مجموع الحدود الخمسة الأولى للمتتالية.

نعتبر المتتالية ($v_n$) المعرفة بـ $v_0=1$ و $v_{n+1}=2\cdot v_n$. أحسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية.

المتتالية ($v_n$) هندسية حيث $v_0=3$ و $q=2$. احسب $S_4$، مجموع الحدود الخمسة الأولى للمتتالية.