التمرين 2 — مبرهنة القيم المتوسطة

نعتبر الدالة $h$ المعرفة على $[0;2]$ بـ:

$h(x)=x^3-3x+1$

1. بين أن $h$ متصلة على $[0;2]$.
2. احسب $h(0)$ و $h(2)$.
3. استنتج أن المعادلة $h(x)=0$ تقبل حلا واحدا على الأقل في المجال $]0;2[$. ما هي المبرهنة التي تستعملها؟ تحقق بعناية من فرضياتها.
4. بين بنفس الطريقة أن المعادلة $h(x)=0$ تقبل حلا واحدا على الأقل في $]-2;0[$. (نقبل أن $h(-2)=-1$.)

لتكن الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ بما يلي :

$f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{x+1}$

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
2. أنجز القسمة الإقليدية لـ $3x^2+2x-1$ على $x+1$، ثم استنتج مقاربا مائلا للمنحنى الممثل للدالة f.
3. ادرس الوضع النسبي للمنحنى بالنسبة لهذا المقارب المائل.

التمرين 1 – الامتداد بالاستمرارية

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ بـ:

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$

1. بين أنه من أجل كل $x\ne 1$، لدينا $f(x)=x-2$.

2. هل تقبل الدالة $f$ امتداداً بالاستمرارية عند $x=1$ ؟ إذا كان الأمر كذلك، حدد قيمة $g(1)$ لهذا الامتداد وعرّف بشكل كامل الدالة $g$ المحصل عليها.

3. نعتبر الآن الدالة $h$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

   $h(x)=f(x)$ إذا كان $x\ne 1$، و $h(1)=0$.

   هل الدالة $h$ مستمرة عند $x=1$ ؟ برر بشكل دقيق.

لتكن الدالة f معرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بـ:

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$

1. بين أن نهاية f عند $x=2$ هي شكل غير معين من النوع $\frac{0}{0}$.
2. ارفع هذا الشكل غير المعين واحسب $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$.
3. هل الدالة f قابلة للامتداد بالاستمرارية عند $x=2$؟ إذا كان الأمر كذلك، عرّف هذا الامتداد g على $\mathbb{R}$.

التمرين 1 — النهايات والمقاربات

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ بـ:

$f(x)=\frac{\sin (3x)+2x}{x}$

1. احسب $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. استنتج ما إذا كانت $f$ قابلة للامتداد بالاستمرارية في $0$، وحدد قيمة هذا الامتداد.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. هل يقبل منحنى $f$ مقارباً أفقياً في $+\infty$ أو في $-\infty$؟
3. نضع $g$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=f(x)$ إذا كان $x\ne 0$، و $g(0)=5$. هل الدالة $g$ مستمرة في $0$؟ برر.

التمرين 1 — النهاية عند الصفر والامتداد بالاستمرارية

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ بـ:

$f(x)=\frac{e^x-1}{3x}$

1. احسب $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. برر بعناية مع تحديد النهاية المرجعية المستخدمة.
2. هل تقبل الدالة $f$ امتداداً بالاستمرارية عند $0$؟ إذا كان الجواب نعم، عرّف الدالة $g$ امتداد $f$، وحدد قيمتها عند $0$.
3. ادرس استمرارية $g$ على $\mathbb{R}$.

لتكن الدالة f معرفة على $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ بـ:

$f(x)=\frac{e^x-1}{3x}$

1. احسب $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. يمكن استخدام النهاية المرجعية $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$.
2. هل الدالة f قابلة للامتداد بالاستمرارية في $0$؟ إذا كانت كذلك، عرّف الامتداد $\tilde{f}$ وحدد قيمته في $0$.
3. ادرس استمرارية $\tilde{f}$ على $\mathbb{R}$.

لتكن الدالة g معرفة على $]0;+\infty [$ بـ:

$g(x)=\frac{x^2+\ln (x)}{2x^2-3x+1}$

1. حدد مجموعة تعريف g.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$ مع تبرير كل خطوة بعناية.
3. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$. ناقش إشارة النهاية.

التمرين 2 — نظرية القيم المتوسطة ووجود الحلول

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;2]$ بـ:

$f(x)=x^3-3x+1$

1. تحقق من أن $f$ متصلة على $[0;2]$.
2. احسب $f(0)$ و $f(1)$ و $f(2)$.
3. بين أنه يوجد على الأقل عدد حقيقي $c\in ]0;1[$ بحيث $f(c)=0$، وعلى الأقل عدد حقيقي $d\in ]1;2[$ بحيث $f(d)=0$. نقبل أنه يوجد أيضاً جذر في $]-2;-1[$.
4. استنتج أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل على الأقل حلين في $[0;2]$. هل يمكن التأكيد أن هناك حلين بالضبط؟ برر بإيجاز.

التمرين 1

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=\frac{e^x-1-x}{x^2}$ من أجل $x\ne 0$، و $f(0)=\frac{1}{2}$.

1. احسب $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ باستعمال النهايات المرجعية. استنتج هل $f$ متصلة عند $0$.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. فسر بيانيا.
3. نعتبر الدالة $g$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ $g(x)=x^2\cdot \ln (x)$. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{g(x)}{e^x}$.

التمرين 2

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;+\infty [$ بما يلي :

$f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x+1}$

1. أنجز القسمة الإقليدية لـ $2x^2+3x-1$ على $x+1$، ثم استنتج تعبير $f(x)$ على الشكل $f(x)=ax+b+r(x)$، حيث $r(x)$ هو الباقي الذي يجب تحديده.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. استنتج وجود مقارب مائل عند $+\infty$ وأعط معادلته.
3. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(2x+1)]$. ماذا تستنتج؟

التمرين 2

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;2]$ بـ:

$f(x)=x^3-3x+1$

1. بين أن $f$ متصلة على $[0;2]$.
2. احسب $f(0)$ و $f(1)$ و $f(2)$.
3. بتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة، بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا واحدا على الأقل في $]0;1[$ وحلا واحدا على الأقل في $]1;2[$.
4. بين أن $f$ متزايدة تزايدا قطعيا على $[1;2]$ (نقبل أن $f^{\prime }(x)=3x^2-3$). استنتج أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في $]1;2[$. حصر $\alpha$ بدقة $10^{-1}$.

التمرين 1

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ إذا كان $x\ne 2$, و $f(2)=k$, حيث $k$ عدد حقيقي.

1. احسب $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$. حدد الشكل غير المحدد الذي تمت مصادفته وأزله.
2. حدد قيمة $k$ لكي تكون الدالة $f$ متصلة في $x=2$.
3. هل الدالة $f$ بعد هذا التمديد متصلة على $\mathbb{R}$؟ علل جوابك.

التمرين 2

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=x^3-3x+1$.

1. بين أن $f$ متصلة على $\mathbb{R}$.
2. احسب $f(0)$ و $f(1)$ و $f(2)$.
3. بتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة، بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا واحدا على الأقل في المجال $]0;1[$ وحلا واحدا على الأقل في المجال $]1;2[$.
4. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ على $\mathbb{R}$، ثم أنشئ جدول تغيرات $f$ على $[-2;2]$.
5. استنتج أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل بالضبط ثلاثة حلول حقيقية متمايزة. حدد لكل حل مجالا طوله $1$ يحتويه.

التمرين 1

نعتبر الدوال التالية المعرفة على مجالات تعريفها.

1. أحسب النهايات التالية مع تبرير كل خطوة:

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{5x}$
   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+3x-1}{x^2-x+4}$
   3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{3x}$
   4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\times e^{-x}$

2. لتكن $f$ دالة معرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=\frac{\ln (1+4x)}{2x}$ من أجل $x\ne 0$, و $f(0)=a$.

   1. أحسب $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.
   2. حدد قيمة $a$ لكي تكون $f$ متصلة في 0.

التمرين 1

لتكن الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ بما يلي :

$f(x)=\frac{3x^2-5x-2}{x-2}$

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. أعط تأويلا هندسيا للنتائج.
2. احسب $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$. أعط تأويلا هندسيا للنتائج.
3. بين أن المستقيم (D) الذي معادلته $y=3x+1$ مقارب مائل لمنحنى الدالة $f$ بجوار $+\infty$ وبجوار $-\infty$.

التمرين 2

لتكن الدالة $g$ المعرفة بما يلي :

• $g(x)=\frac{e^{2x}-1}{\sin (3x)}$ من أجل $x\ne 0$
• $g(0)=a$

1. أحسب $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$. (نستعمل النهايات المرجعية.)

2. حدد قيمة $a$ لكي تكون $g$ متصلة في 0.

3. هل الدالة $g$ بعد تمديدها قابلة للاشتقاق في 0 ؟ علل جوابك.

احسب النهايات التالية :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4}$
2. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2+3x}-x$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}$

لتكن $f(x)=x^3+2x-5$.

1. بين أن الدالة f متصلة وتزايدية قطعا على $\mathbb{R}$.
2. احسب f(1) و f(2).
3. استنتج أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في المجال $]1,2[$.
4. أعط تأطيرا للعدد $\alpha$ بدقة 0.5.

احسب النهايات التالية مع إزالة حالات عدم التعيين :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+x}-x)$
2. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x^3-8}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2-2}$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-2x+1}{x^2+5}$
2. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}$
4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}-x)$

لتكن $f$ الدالة المعرفة بما يلي :

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ إذا كان $x\ne 1$, و $f(1)=2$

1. احسب $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.
2. هل الدالة $f$ متصلة في $x=1$ ؟
3. هل يمكن تغيير قيمة $f(1)$ لجعل الدالة $f$ متصلة في 1 ؟ إذا كان الجواب نعم، فما هي هذه القيمة ؟
4. بسط تعبير $f(x)$ عندما $x\ne 1$ واستنتج طبيعة منحنى الدالة $f$.

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot e^{-x}$
3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)$
4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$

احسب النهاية: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}$.

التمرين

احسب النهايات التالية.

1. $\underset{x\to 9}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x-1}-2}{x-9}$
2. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{x-1}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2+3}}$

نص التمرين

أثبت أن المعادلة

$(E):\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+2}=5-x$

تقبل حلاً وحيداً في المجال $[1;5]$.

لتكن الدالة $f$ معرفة بـ $f(x)=3x+2$. احسب نهاية $f$ عندما يؤول $x$ إلى $1$.

احسب النهاية التالية : $\underset{x\to 0}{\lim }$ $\frac{\sin (x)}{x}$.

احسب النهاية التالية: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$.

احسب النهاية التالية: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$.

لتكن الدالة $f$ المعرفة بـ $f(x)=x^2+3$. بين أن $f$ متصلة على $\mathbb{R}$.

لتكن الدالة f معرفة بـ $f(x)=3x+2$. احسب $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.

احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2-3x+1}{2x^2+x}$.

احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2+3x}{2x^2+1}$.

احسب $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$.

لتكن الدالة $f$ معرفة بـ $f(x)=2x+3$. احسب نهاية $f(x)$ عندما يؤول $x$ إلى $2$.

احسب $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}$.

حدد نهاية الدالة $g$ المعرفة بـ $g(x)=\frac{1}{x}$ عندما يؤول $x$ إلى $+\infty$.

لتكن الدالة $f$ المعرفة بـ $f(x)=x^2$ من أجل $x\ne 2$ و $f(2)=4$. تحقق مما إذا كانت $f$ متصلة في $x=2$.