Symétrie centrale — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف

ليكن O نقطة من المستوى. التماثل المركزي الذي مركزه O هو التحويل الذي يربط كل نقطة M بنقطة M' بحيث O هي منتصف القطعة [MM'].

نقول إن M' هي مماثلة M بالنسبة للمركز O.

إنشاء مماثلة M بالنسبة لـ O :

نرسم المستقيم (OM).
نحدد المسافة OM على الجانب الآخر من O للحصول على M' بحيث $O M = O M^{'}$ .
M' هي المماثلة المطلوبة.

II. خاصيات التماثل المركزي

مماثلة المركز O هي نفسه: $S_{O} (O) = O$ .
الحفاظ: يحافظ التماثل المركزي على المسافات، الأطوال والزوايا.
مماثلة مستقيم هي مستقيم موازٍ له.
مماثلة قطعة مستقيم هي قطعة مستقيم لها نفس الطول.
مماثلة دائرة مركزها A وشعاعها R هي دائرة لها نفس الشعاع R، ومركزها A' (مماثلة A).

III. شكل متماثل بالنسبة لمركز

شكل F متماثل بالنسبة لمركز O إذا كانت صورته بالتماثل المركزي الذي مركزه O هي نفسه.

يسمى O في هذه الحالة مركز تماثل الشكل.

أشكال لها مركز تماثل:

الدائرة: أي مركز (عدد لا نهائي).
المستطيل: مركز المستطيل.
المعين: نقطة تقاطع القطرين.
متوازي الأضلاع: نقطة تقاطع القطرين.

أشكال ليس لها مركز تماثل: مثلث كيفي، مثلث متساوي الساقين غير متساوي الأضلاع.

IV. التماثل المركزي في الإحداثيات

إذا كان $O (a; b)$ هو المركز و $M (x; y)$ هي النقطة، فإن مماثلة M' لها الإحداثيات التالية:

$x^{'} = 2 a - x$ $y^{'} = 2 b - y$

حالة خاصة — التماثل بالنسبة للمبدأ $O (0; 0)$ : $M^{'} (- x; - y)$ .

V. الفرق مع التماثل المحوري

	التماثل المحوري	التماثل المركزي
العنصر الثابت	محور (مستقيم)	مركز (نقطة)
MM' $⊥$ المحور	نعم، المحور = واسط [MM']	لا، O = منتصف [MM']
المسافات	محفوظة	محفوظة
الاتجاه	معكوس	محفوظ

📈 Figure clé

Symétrie centrale de centre

O

🔑 Formules clés à retenir

O منتصف [MM'] ⇔ M' مماثلة M بالنسبة لـ O
الإحداثيات: x' = 2a−x, y' = 2b−y
بالنسبة لـ O(0;0) : M(x;y) ↦ M'(−x;−y)
متوازي الأضلاع، المستطيل، المعين ← مركز التماثل
المثلث (بصفة عامة) ← لا يوجد مركز تماثل

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الخلط بين التماثل المحوري والتماثل المركزي: التماثل المحوري يكون بالنسبة لمستقيم (مرآة)، بينما التماثل المركزي يكون بالنسبة لنقطة (نصف دورة). النتيجة البصرية مختلفة!

❌

خطأ في الصيغة: إذا كان المركز هو O(a;b)، فإن M'(2a−x ; 2b−y). إذا كان المركز هو O(0;0)، فببساطة M'(−x ; −y). لا تنسَ "2a"!

🟢 نصائح الخبراء

✅

الطريقة البيانية: لإيجاد مماثلة النقطة M بالنسبة للنقطة O، ارسم القطعة [MO] ومددها من الجهة الأخرى للنقطة O بنفس الطول. النقطة M' تبعد عن O بنفس المسافة التي تبعدها M.

✅

مركز تماثل متوازي الأضلاع: نقطة تقاطع القطرين هي دائمًا مركز تماثل متوازي الأضلاع. هذا مفيد جدًا في مسائل الإنشاء!

💡

التماثل المركزي يحافظ على الاتجاه: على عكس التماثل المحوري الذي يعكس الاتجاه (يمين/يسار)، يحافظ التماثل المركزي على اتجاه دوران الرؤوس.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Symétrie centrale

Type 1 : Construire le symétrique d'un point par rapport à un centre

Quand ? On a un point $A$ et un centre $O$ , et on veut placer le symétrique $A^{'}$ de $A$ par rapport à $O$ .

On trace la demi-droite qui part de $A$ et passe par le centre $O$ .
On mesure la distance entre $A$ et $O$ .
On reporte cette même distance de l'autre côté de $O$ pour placer $A^{'}$ .
Ainsi $O$ est le milieu du segment $[A A^{'}]$ .

Exemple éclair : Si $A$ est à $3$ cm de $O$ , alors $A^{'}$ est aussi à $3$ cm de $O$ , mais de l'autre côté, sur la même ligne.

Type 2 : Construire le symétrique d'un segment

Quand ? On veut le symétrique d'un segment $[A B]$ par rapport à un point $O$ .

On construit le symétrique $A^{'}$ du point $A$ par rapport à $O$ .
On construit le symétrique $B^{'}$ du point $B$ par rapport à $O$ .
On relie $A^{'}$ et $B^{'}$ : le segment $[A^{'} B^{'}]$ est le symétrique de $[A B]$ .

Exemple éclair : Pour le symétrique d'un segment, il suffit de trouver le symétrique de ses deux extrémités puis de les relier.

Type 3 : Construire le symétrique d'une figure

Quand ? On veut le symétrique d'un triangle ou d'une figure par rapport à un point $O$ .

On construit le symétrique de chaque sommet de la figure par rapport à $O$ .
On relie les nouveaux points dans le même ordre que la figure de départ.
On obtient une figure identique mais \"retournée\" autour de $O$ .

Exemple éclair : Pour un triangle $A B C$ , on place $A^{'}$ , $B^{'}$ et $C^{'}$ puis on trace le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Type 4 : Utiliser les propriétés de la symétrie centrale

Quand ? On doit donner une longueur ou un angle sans tout mesurer, grâce aux propriétés.

La symétrie centrale conserve les longueurs : un segment et son symétrique ont la même longueur.
Elle conserve les angles : un angle et son symétrique sont égaux.
Donc une figure et son symétrique ont exactement la même forme et la même taille.

Exemple éclair : Si $[A B]$ mesure $5$ cm, alors son symétrique $[A^{'} B^{'}]$ mesure aussi $5$ cm, sans avoir à le remesurer.

Type 5 : Reconnaître le centre de symétrie d'une figure

Quand ? On veut savoir si une figure a un centre de symétrie et où il se trouve.

On cherche un point tel que, si on fait tourner la figure d'un demi-tour autour de lui, on retombe exactement sur la figure de départ.
Pour un rectangle ou un carré, ce centre est le point où se croisent les deux diagonales.
Si un tel point existe, c'est le centre de symétrie de la figure.

Exemple éclair : Le centre de symétrie d'un rectangle est le point de croisement de ses diagonales.

Symétrie centrale — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

55 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 55 corrigés

Exercices Faciles

22 exercices

تماثل بالنسبة للمركز

Facile

Énoncé

أعط إحداثيات مماثلة النقطة M(4 ; −2) بالنسبة للنقطة O(0 ; 0).

Ma réponse

Symétrie centrale

Symétrie centrale — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف

II. خاصيات التماثل المركزي

III. شكل متماثل بالنسبة لمركز

IV. التماثل المركزي في الإحداثيات

V. الفرق مع التماثل المحوري

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح الخبراء

Méthodes types

Méthodes types — Symétrie centrale

Type 1 : Construire le symétrique d'un point par rapport à un centre

Type 2 : Construire le symétrique d'un segment

Type 3 : Construire le symétrique d'une figure

Type 4 : Utiliser les propriétés de la symétrie centrale

Type 5 : Reconnaître le centre de symétrie d'une figure

Symétrie centrale — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

تماثل بالنسبة للمركز

التماثل المركزي

التماثل المركزي

التحقق أن O هي المنتصف

أشكال بمركز تماثل

تماثل نقطة

التماثل في شكل

تماثل دائرة

مركز تماثل مستطيل

التماثل والمسافات

تماثل قطعة مستقيم

تماثل النقط

تماثل قطعة

تماثل نقطة

تماثل قطعة

تماثل دائرة

مركز تماثل مربع

تماثل قطعة

تماثل نقطة

حدد مركز التماثل

تماثل شكل

التماثل والمسافات

Exercices Intermédiaires

التحقق من أن رباعي الأضلاع متوازي أضلاع

مماثل مثلث بالنسبة لنقطة خارجة

مماثل مثلث

متوازي الأضلاع والمركز

إنشاء مماثل قطعة مستقيم

حدد العدد الذي صورته

تماثل دائرة

التماثل والإحداثيات

مركز التماثل

تماثل القطع

تماثل شكل هندسي

مسألة التماثل

تماثل الأشكال

إحداثيات مماثلة نقطة

تماثل دائرة

تماثل شكل مركب

التحقق من التماثل

Exercices Difficiles

مركز تماثل سداسي منتظم

إنشاء شكل كامل

تركيب إزاحتين

مماثل مستقيم

برهان التماثل المركزي

برهان التماثل

حساب التماثل

تماثل دائرة

تطبيق التماثل

برهان التماثل

التماثل والمسافات

التماثل في سياق جغرافي

برهان التماثل

تطبيق عملي للتماثل

تطبيق التماثل