الفصل 4: معادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد
I. تعريفات
المعادلة هي متساوية تتضمن مجهولاً واحداً أو أكثر.
حل معادلة هو إيجاد جميع الأعداد التي تجعل المتساوية صحيحة.
حل معادلة هو إيجاد جميع الأعداد التي تجعل المتساوية صحيحة.
مصطلحات:
- الحل هو عدد يجعل المعادلة صحيحة.
- مجموعة الحلول هي مجموعة جميع الأعداد التي تجعل المعادلة صحيحة.
مثال: المعادلة 2x + 3 = 7
- x = 2 هو حل (لأن 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 ✓)
- x = 1 ليس حلاً (لأن 2(1) + 3 = 5 ≠ 7)
II. معادلات من الدرجة الأولى
معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد x تأخذ الشكل: ax + b = 0 (حيث a ≠ 0)
خاصيات أساسية:
- يمكننا إضافة/طرح نفس العدد من طرفي المتساوية.
- يمكننا ضرب/قسمة طرفي المتساوية على نفس العدد (غير المنعدم).
- هذه العمليات لا تغير مجموعة الحلول.
III. حل معادلات من الدرجة الأولى
الشكل البسيط: ax = b
ax = b ⇒ x = b/a (إذا كان a ≠ 0)
أمثلة:
- 3x = 15 ⇒ x = 15/3 = 5
- -2x = 8 ⇒ x = 8/(-2) = -4
- x/4 = 7 ⇒ x = 7 × 4 = 28
الشكل العام: ax + b = c
طريقة:
- تجميع الحدود التي تحتوي على x في طرف واحد.
- تجميع الأعداد في الطرف الآخر.
- تبسيط كل طرف.
- عزل x.
مثال: حل المعادلة 2x + 5 = 11
- 2x + 5 = 11
- 2x = 11 - 5 (طرح 5 من الطرفين)
- 2x = 6
- x = 6/2 = 3
- الحل: x = 3
مثال أكثر تعقيدًا: حل المعادلة 3x - 4 = 2x + 1
- 3x - 4 = 2x + 1
- 3x - 2x = 1 + 4 (تجميع x في اليسار، والأعداد في اليمين)
- x = 5
- الحل: x = 5
IV. التحقق من الحل
طريقة: تعويض x بقيمته في المعادلة الأصلية.
مثال: التحقق من أن x = 5 هو حل للمعادلة 3x - 4 = 2x + 1
- الطرف الأيسر: 3(5) - 4 = 15 - 4 = 11
- الطرف الأيمن: 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11
- الطرفان متساويان ✓