Racine Carrée — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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Chapitre 3 : La Racine Carrée

I. Définition de la racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré égale a.
Si x = √a, alors x^2 = a et x ≥ 0

Notation : √a se lit "racine carrée de a"

Exemples :

√9 = 3 (car 3^2 = 9)
√16 = 4 (car 4^2 = 16)
√25 = 5 (car 5^2 = 25)
√0 = 0
√1 = 1

II. Carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.

Liste des carrés parfaits :

1^2 = 1 ⇒ √1 = 1
2^2 = 4 ⇒ √4 = 2
3^2 = 9 ⇒ √9 = 3
4^2 = 16 ⇒ √16 = 4
5^2 = 25 ⇒ √25 = 5
6^2 = 36 ⇒ √36 = 6
7^2 = 49 ⇒ √49 = 7
8^2 = 64 ⇒ √64 = 8
9^2 = 81 ⇒ √81 = 9
10^2 = 100 ⇒ √100 = 10

III. Propriétés de la racine carrée

Racine d'un produit : √(a×b) = √a × √b (pour a,b ≥ 0)

Exemple : √(9×4) = √9 × √4 = 3 × 2 = 6

Racine d'un quotient : √(a/b) = √a / √b (pour a ≥ 0, b > 0)

Exemple : √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2

Relation carré-racine : (√a)^2 = a et √(a^2) = |a|

Attention :

√(a+b) ≠ √a + √b
Exemple : √(9+16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7

IV. Simplification de racines carrées

Méthode : Utiliser la propriété √(a×b) = √a × √b pour extraire les carrés parfaits.

Exemples :

√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3
√50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2
√72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2

V. Approximations et calculs

Pour les racines carrées non-parfaites, on utilise des approximations :

√2 ≈ 1,414
√3 ≈ 1,732
√5 ≈ 2,236

🔑 Formules clés à retenir

Définition : Si x = √a, alors x^2 = a (x ≥ 0)
Produit : √(a×b) = √a × √b
Quotient : √(a/b) = √a / √b
Carré de la racine : (√a)^2 = a
Racine du carré : √(a^2) = |a|

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

√(a + b) ≠ √a + √b — La racine ne se distribue pas sur l'addition. √(9 + 16) = √25 = 5, pas 3 + 4 = 7.

❌

√(a²) = a seulement si a ≥ 0 — En général √(a²) = |a|. Exemple : √((-5)²) = √25 = 5, pas −5.

❌

La racine d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ. √(-4) est impossible : toujours vérifier que l'expression sous le radical est positive.

🟢 Astuces de pros

✅

Simplifier √48 : chercher le plus grand carré parfait diviseur → 48 = 16 × 3 → √48 = 4√3.

💡

Carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.

Racine Carrée — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

4 exercices

Calculer des racines carrées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer : √4
Calculer : √25
Calculer : √64
Calculer : √100
Calculer : √1

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

√4 = 2 (car 2^2 = 4)
√25 = 5 (car 5^2 = 25)
√64 = 8 (car 8^2 = 64)
√100 = 10 (car 10^2 = 100)
√1 = 1 (car 1^2 = 1)

Encadrement de racines carrées

🟢 Facile

Énoncé

Encadrer chaque racine entre deux entiers consécutifs :

√20
√55
√130
Donner une valeur approchée de √7 à 0,1 près.

Ma réponse

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Correction détaillée

4² = 16 et 5² = 25, donc 4 < √20 < 5
7² = 49 et 8² = 64, donc 7 < √55 < 8
11² = 121 et 12² = 144, donc 11 < √130 < 12
2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29. Donc √7 ≈ 2,6 (à 0,1 près par défaut)

Simplification de racines carrées

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier sous la forme a√b (b sans facteur carré) :

√48
√75
√180
√(50/2)

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Correction détaillée

√48 = √(16 × 3) = 4√3. 4√3
√75 = √(25 × 3) = 5√3. 5√3
√180 = √(36 × 5) = 6√5. 6√5
√(50/2) = √25 = 5

Encadrement entre deux entiers consécutifs

🟢 Facile

Énoncé

Sans calculatrice, encadrer chaque racine entre deux entiers consécutifs :

√20
√50
√110

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Correction détaillée

4² = 16 et 5² = 25. 16 < 20 < 25 donc 4 < √20 < 5.
7² = 49 et 8² = 64. 49 < 50 < 64 donc 7 < √50 < 8.
10² = 100 et 11² = 121. 100 < 110 < 121 donc 10 < √110 < 11.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Simplifier des racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier : √12
Simplifier : √18
Simplifier : √50
Simplifier : √72

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Correction détaillée

√12 = √(4×3) = 2√3
√18 = √(9×2) = 3√2
√50 = √(25×2) = 5√2
√72 = √(36×2) = 6√2

Addition et soustraction de racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes :

3√2 + 5√2
√50 + √18
4√3 - √12
√75 - √48 + √3

Ma réponse

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Correction détaillée

3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2
√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2
4√3 - √12 = 4√3 - 2√3 = 2√3
√75 - √48 + √3 = 5√3 - 4√3 + √3 = (5 - 4 + 1)√3 = 2√3

Produit et quotient de racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer et simplifier :

√3 × √12
√8 × √2
√48 ÷ √3
(√5)² + (√7)²

Ma réponse

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Correction détaillée

On utilise la propriété : √a × √b = √(ab)

√3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6
√8 × √2 = √(8 × 2) = √16 = 4
√48 ÷ √3 = √(48 ÷ 3) = √16 = 4
(√5)² + (√7)² = 5 + 7 = 12

Équations avec racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre (avec x ≥ 0) :

√x = 5
√(2x + 1) = 3
x² = 49 (avec x ≥ 0)
√x + 2 = 6

Ma réponse

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Correction détaillée

√x = 5 ⇒ x = 5² = 25
2x + 1 = 9 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4
x = √49 = 7
√x = 4 ⇒ x = 16. x = 16

Comparer des expressions avec racines

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Comparer sans calculatrice :

√8 et 3
2√5 et 4√2
√3 + √7 et √10

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Correction détaillée

√8 = 2√2 ≈ 2,83. Donc √8 < 3 (car 8 < 9).
(2√5)² = 20 et (4√2)² = 32. Donc 2√5 < 4√2.
(√3 + √7)² = 3 + 2√21 + 7 = 10 + 2√21 > 10 = (√10)². Donc √3 + √7 > √10.

√(a²) = |a| — valeur absolue

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes en utilisant la propriété √(a²) = |a| :

√(x²) pour x quelconque
√((x−3)²) pour x quelconque
√(4x²) pour x quelconque
Calculer √(49) et √((−7)²). Que remarque-t-on ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

√(x²) = |x| (vaut x si x ≥ 0, −x si x < 0)
√((x−3)²) = |x − 3|
√(4x²) = √4 × √(x²) = 2|x|
√49 = 7 et √((−7)²) = √49 = 7 = |−7|. On confirme : √(a²) = |a|, jamais a seul.

Simplifications de radicaux

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier :

√(12) + √(27) − √(3)
2√(8) − √(2)
√(45) + √(20)

Ma réponse

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Correction détaillée

√12 = 2√3, √27 = 3√3, √3 = √3. Somme : 2√3 + 3√3 − √3 = 4√3.
√8 = 2√2. 2×2√2 − √2 = 4√2 − √2 = 3√2.
√45 = 3√5, √20 = 2√5. Somme : 3√5 + 2√5 = 5√5.

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème avec racines carrées

🔴 Difficile

Énoncé

Un carré a une aire de 200 cm². Calculer la longueur de son côté sous forme simplifiée.
Rationaliser le dénominateur : 6/√3
Montrer que √(a² + b²) ≠ a + b en prenant a = 3 et b = 4.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Aire = côté², donc côté = √200 = √(100 × 2) = 10√2. Le côté mesure 10√2 ≈ 14,14 cm.
6/√3 = 6/√3 × (√3/√3) = 6√3/3 = 2√3
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5, mais 3 + 4 = 7. Comme 5 ≠ 7, on conclut que √(a² + b²) ≠ a + b.

Problèmes de géométrie avec racines

🔴 Difficile

Énoncé

Un losange a ses diagonales qui mesurent d₁ = 6 cm et d₂ = 8 cm. Calculer le côté du losange.
Un triangle équilatéral a un côté de 4 cm. Calculer sa hauteur et son aire exactes.
Calculer la diagonale d'un carré de côté 5 cm.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

Les diagonales se coupent à angle droit. Côté² = (d₁/2)² + (d₂/2)² = 9 + 16 = 25. Côté = 5 cm.
Dans un triangle équilatéral de côté a, h = a√3/2. Ici h = 4√3/2 = 2√3 cm. Aire = (1/2) × 4 × 2√3 = 4√3 cm².
Diagonale = côté × √2 = 5√2 ≈ 7,07 cm.

Problème avancé — expressions irrationnelles

🔴 Difficile

Énoncé

Calculer (√5 + √3)(√5 − √3).
Développer (1 + √3)².
Montrer que (√6 + √2) / 4 peut s'écrire autrement. (Astuce : sin 15° = (√6 − √2)/4, cos 15° = (√6 + √2)/4)

Ma réponse

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Correction détaillée

(√5 + √3)(√5 − √3) = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2 (identité remarquable a²−b²)
(1 + √3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3
(√6 + √2)/4 est en fait cos(15°). On peut aussi l'écrire cos(π/12). C'est une valeur exacte remarquable du cosinus.

Racine Carrée

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I. Définition de la racine carrée

II. Carrés parfaits

III. Propriétés de la racine carrée

IV. Simplification de racines carrées

V. Approximations et calculs

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Calculer des racines carrées

Encadrement de racines carrées

Simplification de racines carrées

Encadrement entre deux entiers consécutifs

🟡 Exercices Intermédiaires

Simplifier des racines carrées

Addition et soustraction de racines carrées

Produit et quotient de racines carrées

Équations avec racines carrées

Comparer des expressions avec racines

√(a²) = |a| — valeur absolue

Simplifications de radicaux

🔴 Exercices Difficiles

Problème avec racines carrées

Problèmes de géométrie avec racines

Problème avancé — expressions irrationnelles

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