Théorème de Pythagore — Résumé de cours

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Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Réciproque

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Contraposée

B C^{2} \neq = A B^{2} + A C^{2}

, alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Applications

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
Démontrer qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle
Distance entre deux points dans un repère : $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

📈 Figure clé

Triangle rectangle en

A

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

🔑 Formules clés à retenir

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ (rectangle en A)
$d (A, B) = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Se tromper sur l'hypoténuse — L'hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l'angle droit, c'est le plus grand côté. Ce n'est pas forcément BC !

❌

Oublier la racine carrée — BC² = 25 ⇒ BC = 5, pas 25.

❌

Utiliser Pythagore sans angle droit — Le théorème ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Toujours justifier l'angle droit.

🟢 Astuces de pros

✅

Triplets pythagoriciens à connaître par cœur : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (6, 8, 10). Reconnaître ces triplets fait gagner beaucoup de temps.

💡

Pour la réciproque : si c² = a² + b², le triangle est rectangle en C. Calculer les trois carrés séparément avant de comparer.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Théorème de Pythagore

Type 1 : Calculer l'hypoténuse

Quand ? Le triangle est rectangle et on connaît les deux côtés de l'angle droit.

Repérer l'angle droit et nommer l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long).
Écrire le théorème : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
Remplacer par les valeurs puis additionner.
Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur.

Exemple éclair : $A B = 3$ , $A C = 4$ donc $B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ , d'où $B C = 25 = 5$ .

Type 2 : Calculer un côté de l'angle droit

Quand ? On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, on cherche l'autre.

Écrire le théorème avec l'hypoténuse seule d'un côté : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
Isoler le côté cherché par soustraction : $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ .
Remplacer par les valeurs et calculer la différence.
Prendre la racine carrée du résultat.

Exemple éclair : $B C = 13$ , $A C = 5$ donc $A B^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ , d'où $A B = 144 = 12$ .

Type 3 : Vérifier si un triangle est rectangle (réciproque)

Quand ? On connaît les trois longueurs et on veut savoir si le triangle est rectangle.

Repérer le plus grand côté : c'est lui qui serait l'hypoténuse.
Calculer séparément le carré du plus grand côté.
Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.
Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle ; sinon il ne l'est pas.

Exemple éclair : côtés $6$ , $8$ , $10$ : $1 0^{2} = 100$ et $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ . Égaux donc le triangle est rectangle.

Type 4 : Montrer qu'un triangle n'est PAS rectangle

Quand ? On veut prouver qu'un triangle dont on connaît les côtés n'est pas rectangle.

Repérer le plus grand côté.
Calculer le carré du plus grand côté.
Calculer la somme des carrés des deux autres.
Comparer : si les deux nombres sont différents, conclure que le triangle n'est pas rectangle.

Exemple éclair : côtés $4$ , $5$ , $6$ : $6^{2} = 36$ mais $4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$ . $36 \neq = 41$ donc le triangle n'est pas rectangle.

Type 5 : Calculer une distance dans un repère

Quand ? On connaît les coordonnées de deux points et on cherche la distance entre eux.

Noter les coordonnées : $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Calculer l'écart horizontal $x_{B} - x_{A}$ et l'écart vertical $y_{B} - y_{A}$ .
Appliquer la formule $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Élever au carré, additionner, puis prendre la racine.

Exemple éclair : $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Théorème de Pythagore — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

2 exercices

Vérification et triplets pythagoriciens

Facile

Énoncé

Vérifier que le triplet (7, 24, 25) est pythagoricien.
Vérifier que le triplet (9, 40, 41) est pythagoricien.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse vaut $50$ cm et une cathète vaut 5 cm. Calculer l'autre cathète.

Ma réponse

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Correction détaillée

Diagonale d'un rectangle et losange

Facile

Énoncé

Un rectangle a ses côtés qui mesurent 5 cm et 12 cm. Calculer la longueur de sa diagonale.
Un losange a ses diagonales qui mesurent 10 cm et 24 cm. Calculer la longueur d'un côté.

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Exercices Intermédiaires

7 exercices

Calculer l'hypoténuse

Intermédiaire

Énoncé

Un triangle rectangle a pour cathètes :

3 cm et 4 cm. Calculer l'hypoténuse.
5 cm et 12 cm. Calculer l'hypoténuse.
6 cm et 8 cm. Calculer l'hypoténuse.

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Calculer une cathète

Intermédiaire

Énoncé

Un triangle rectangle a :

Hypoténuse 13 cm et une cathète 5 cm. Calculer l'autre cathète.
Hypoténuse 17 cm et une cathète 8 cm. Calculer l'autre cathète.

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Vérifier si un triangle est rectangle

Intermédiaire

Énoncé

Déterminer si les triangles suivants sont rectangles (utiliser la réciproque du théorème de Pythagore) :

Triangle de côtés 8, 15 et 17 cm
Triangle de côtés 5, 6 et 8 cm
Triangle de côtés 9, 12 et 15 cm

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Hauteur dans un triangle rectangle

Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en C, avec AC = 6 cm et BC = 8 cm.

Calculer AB (hypoténuse).
CH est la hauteur issue de C sur AB. Calculer CH, AH et BH.

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Nature d'un triangle connaissant les côtés

Intermédiaire

Énoncé

Pour chaque triangle aux côtés suivants, déterminer s'il est rectangle, obtusangle ou acutangle :

$a = 7$ , $b = 24$ , $c = 25$
$a = 5$ , $b = 6$ , $c = 8$
$a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$

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Pythagore dans des figures composées

Intermédiaire

Énoncé

Une figure est composée d'un rectangle (longueur 8 cm, largeur 6 cm) sur lequel est posé un triangle isocèle (base 8 cm, hauteur 3 cm).

Calculer la diagonale du rectangle.
Calculer les côtés obliques du triangle isocèle.

Ma réponse

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Réciproque — prouver qu'un angle est droit

Intermédiaire

Énoncé

Dans un quadrilatère ABCD, on mesure : AB = 7 cm, BC = 24 cm, AC = 25 cm, CD = 10 cm, AD = 10 cm.

Montrer que le triangle ABC est rectangle. En quel sommet ?
Quel est le type du triangle ACD ?

Ma réponse

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Exercices Difficiles

5 exercices

Problème concret avec Pythagore

Difficile

Énoncé

Une échelle de 5 m de long est appuyée contre un mur. Le bas de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (arrondir au cm)
Un terrain rectangulaire mesure $24 m \times 10 m$ . Calculer la longueur de la diagonale.

Ma réponse

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Pythagore dans le plan et distances

Difficile

Énoncé

Dans un repère orthogonal, on donne les points A(1, 2), B(4, 6) et C(5, 2).

Calculer AB, BC et AC.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Ma réponse

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Problème : échelle et construction

Difficile

Énoncé

Une échelle de 5 m prend appui contre un mur. Son pied est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
Un champ carré a une diagonale de 50 m. Calculer le périmètre du champ.
Dans un triangle rectangle, une cathète mesure 9 cm et l'hypoténuse est le double de l'autre cathète. Calculer la valeur exacte de l'hypoténuse.

Ma réponse

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Diagonale d'un cube

Difficile

Énoncé

Un cube a un côté de 4 cm.

Calculer la diagonale $d$ d'une face (diagonale du carré).
Calculer la grande diagonale $D$ du cube (diagonale espace).
Vérifier que $D = c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} \times 3$ .

Ma réponse

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Correction détaillée

Problème avancé — triangle et altitudes

Difficile

Énoncé

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, AB = 5 cm et AC = 12 cm.

Calculer BC.
Nommer H le pied de la hauteur issue de A sur BC. Calculer AH.
Calculer BH et HC.

Ma réponse

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Exercices supplémentaires

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