Théorème de Pythagore

نظرية فيتاغورس

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Théorème de Pythagore — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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Chapitre 5 : Théorème de Pythagore

I. Énoncé du théorème

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC²

Vocabulaire :

  • Hypoténuse = le côté opposé à l'angle droit (le plus long côté)
  • Cathètes = les deux côtés qui forment l'angle droit

II. Démonstration intuitive

On peut vérifier le théorème avec un exemple simple :

  • Triangle avec cathètes 3 et 4
  • 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
  • Donc l'hypoténuse = 5

Autres exemples de triplets pythagoriciens :

  • 5, 12, 13 (car 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²)
  • 8, 15, 17 (car 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²)
  • 6, 8, 10 (car 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²)

III. Applications du théorème

Cas 1 : Calculer l'hypoténuse

Si on connaît les deux cathètes AB et AC, on trouve BC :

BC = √(AB² + AC²)

Exemple : Triangle rectangle avec cathètes 6 cm et 8 cm

  • BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
  • BC = √100 = 10 cm

Cas 2 : Calculer une cathète

Si on connaît l'hypoténuse BC et une cathète AB, on trouve AC :

AC² = BC² - AB²

AC = √(BC² - AB²)

Exemple : Triangle rectangle avec hypoténuse 13 cm et une cathète 5 cm

  • AC² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
  • AC = √144 = 12 cm

IV. Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC²
Alors le triangle est rectangle en A.

Application : Vérifier si un triangle est rectangle

Exemple : Le triangle avec côtés 5, 12, 13 est-il rectangle ?

  • Vérifier : 13² = 5² + 12² ?
  • 169 = 25 + 144 ?
  • 169 = 169 ✓
  • Oui, c'est un triangle rectangle !

V. Géométrie spatiale

Le théorème de Pythagore s'applique aussi en 3D pour les diagonales de parallélépipèdes.

🔑 Formules clés à retenir

  • Théorème : BC² = AB² + AC² (si angle droit en A)
  • Hypoténuse : BC = √(AB² + AC²)
  • Cathète : AC = √(BC² - AB²)
  • Réciproque : Si BC² = AB² + AC², alors triangle rectangle en A
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

L'hypoténuse n'est pas toujours BC — C'est le côté opposé à l'angle droit. Identifier d'abord où est l'angle droit, puis le côté en face c'est l'hypoténuse.

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Oublier la racine carrée à la fin — BC² = 25 ⇒ BC = √25 = 5, pas 25.

❌

Appliquer Pythagore sur un triangle non-rectangle — Toujours justifier l'existence de l'angle droit avant d'utiliser le théorème.

🟢 Astuces de pros

✅

Triplets pythagoriciens à connaître : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (6, 8, 10), (9, 12, 15). Les reconnaître évite tout calcul.

💡

Pour la réciproque, calculer les trois carrés séparément puis vérifier si c² = a² + b². Ne pas écrire c² = a² + b² avant d'avoir tout calculé.