Trigonométrie dans le triangle rectangle — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير حول المثلث القائم الزاوية

في مثلث قائم الزاوية في A، الضلع المقابل للزاوية القائمة (الضلع الأطول) يسمى الوتر.

بالنسبة لزاوية حادة B :

الضلع المجاور لـ B هو الضلع الذي ينتمي إلى B وليس الوتر.
الضلع المقابل لـ B هو الضلع الذي لا يلامس B.

II. النسب المثلثية الثلاث

في مثلث قائم الزاوية في A، بالنسبة لزاوية حادة B :

$cos (B) = \frac{الضلع المجاور}{الوتر} = \frac{A B}{B C}$

$sin (B) = \frac{الضلع المقابل}{الوتر} = \frac{A C}{B C}$

$tan (B) = \frac{الضلع المقابل}{الضلع المجاور} = \frac{A C}{A B}$

وسيلة مساعدة على التذكر : SOH-CAH-TOA

Sin = Opposé / Hypoténuse (الجيب = المقابل / الوتر)
Cos = Adjacent / Hypoténuse (جيب التمام = المجاور / الوتر)
Tan = Opposé / Adjacent (الظل = المقابل / المجاور)

III. قيم خاصة

الزاوية	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
cos	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
sin	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
tan	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	—

IV. العلاقة الأساسية

لكل زاوية حادة $α$ :

$cos^{2} (α) + sin^{2} (α) = 1$

وكذلك : $tan (α) = \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}$

V. الزوايا المتتامة

إذا كان $α + β = 90°$ (زاويتان متتامتان)، فإن :

$sin (α) = cos (β) cos (α) = sin (β) tan (α) = \frac{1}{t a n ( β )}$

بمعنى آخر : $sin (α) = cos (90° - α)$ و $cos (α) = sin (90° - α)$ .

VI. حساب ضلع مجهول

طريقة : في مثلث قائم الزاوية في A، بمعرفة زاوية حادة B وضلع :

إذا عرفنا BC (الوتر) : $A C = B C \times sin (B)$ , $A B = B C \times cos (B)$ .
إذا عرفنا AB (المجاور) : $A C = A B \times tan (B)$ , $B C = \frac{A B}{c o s ( B )}$ .
إذا عرفنا AC (المقابل) : $A B = \frac{A C}{t a n ( B )}$ , $B C = \frac{A C}{s i n ( B )}$ .

VII. حساب زاوية مجهولة

إذا عرفنا نسبة الجيب أو جيب التمام أو الظل، نستخدم الدالة العكسية (arcsin, arccos, arctan) على الآلة الحاسبة.

مثال : $cos (B) = 0, 6 \Rightarrow B = arccos (0, 6) \approx 53, 13°$ .

تحقق : الزاويتان الحادتان في المثلث القائم الزاوية متتامتان $\Rightarrow$ يجب أن يكون مجموعهما $90°$ .

VIII. تطبيق — زاوية السمت وزاوية الارتفاع

زاوية الارتفاع هي الزاوية بين خط الرؤية نحو جسم مرتفع والخط الأفقي.
زاوية الانخفاض هي الزاوية بين خط الرؤية نحو جسم منخفض والخط الأفقي.

في كلتا الحالتين، نقوم بالنمذجة بواسطة مثلث قائم الزاوية ونطبق الجيب أو جيب التمام أو الظل حسب ما نبحث عنه.

📈 Figure clé

cos α = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}

sin α = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}

🔑 Formules clés à retenir

$cos (B) = الضلع المحادي / الوتر$
$sin (B) = الضلع المقابل / الوتر$
$tan (B) = الضلع المقابل / الضلع المحادي$
$cos^{2} (α) + sin^{2} (α) = 1$
$tan (α) = sin (α) / cos (α)$
$sin (α) = cos (90° - α)$
القيم الأساسية: $sin (30°) = 1/2$ , $cos (30°) = 3 /2$ , $tan (45°) = 1$ , $sin (60°) = 3 /2$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الخلط بين الضلع المحادي والضلع المقابل — يعتمدان على الزاوية المختارة! بالنسبة للزاوية B: المقابل = الضلع المقابل للزاوية B، المحادي = الضلع المجاور للزاوية B (وليس الوتر).

❌

الآلة الحاسبة في وضع الراديان — في السنة الثالثة إعدادي، يجب دائمًا العمل بالدرجات. تحقق من وضع الآلة الحاسبة قبل البدء.

❌

عكس sin و cos — تذكر: SOH-CAH-TOA (Sin=المقابل/الوتر، Cos=المحادي/الوتر، Tan=المقابل/المحادي).

🟢 نصائح احترافية

✅

جدول للحفظ (30°، 45°، 60°):
$sin (30°) = \frac{1}{2}$ | $sin (45°) = \frac{2}{2}$ | $sin (60°) = \frac{3}{2}$
$cos (30°) = \frac{3}{2}$ | $cos (45°) = \frac{2}{2}$ | $cos (60°) = \frac{1}{2}$

💡

لإيجاد زاوية: استخدم الدالة العكسية (arcsin, arccos, arctan) على الآلة الحاسبة. $arctan (\frac{3}{4})$ تعطي الزاوية التي ظلها يساوي $\frac{3}{4}$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Trigonométrie dans le triangle rectangle

Type 1 : Choisir la bonne formule (cos, sin, tan)

Quand ? Avant tout calcul, pour savoir quelle relation utiliser selon les côtés en jeu.

Repérer l'angle droit et l'angle aigu utilisé.
Nommer les côtés : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé à l'angle.
Choisir : $cos = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ , $sin = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ , $tan = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .
Retenir le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA.

Exemple éclair : si on connaît l'opposé et l'hypoténuse, on utilise $sin$ .

Type 2 : Calculer une longueur avec le cosinus

Quand ? On connaît un angle et l'hypoténuse, et on cherche le côté adjacent.

Écrire $cos (A) = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ .
Remplacer l'angle et l'hypoténuse par leurs valeurs.
Isoler le côté cherché : adjacent $=$ hypoténuse $\times cos (A)$ .
Calculer à la calculatrice.

Exemple éclair : hypoténuse $= 10$ , angle $6 0^{\circ}$ : adjacent $= 10 \times cos (6 0^{\circ}) = 10 \times 0, 5 = 5$ .

Type 3 : Calculer une longueur avec le sinus

Quand ? On connaît un angle et l'hypoténuse, et on cherche le côté opposé.

Écrire $sin (A) = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ .
Remplacer l'angle et l'hypoténuse par leurs valeurs.
Isoler : opposé $=$ hypoténuse $\times sin (A)$ .
Effectuer le calcul.

Exemple éclair : hypoténuse $= 8$ , angle $3 0^{\circ}$ : opposé $= 8 \times sin (3 0^{\circ}) = 8 \times 0, 5 = 4$ .

Type 4 : Calculer une longueur avec la tangente

Quand ? On connaît un angle et le côté adjacent, et on cherche le côté opposé.

Écrire $tan (A) = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .
Remplacer l'angle et l'adjacent par leurs valeurs.
Isoler : opposé $=$ adjacent $\times tan (A)$ .
Calculer le résultat.

Exemple éclair : adjacent $= 6$ , angle $4 5^{\circ}$ : opposé $= 6 \times tan (4 5^{\circ}) = 6 \times 1 = 6$ .

Type 5 : Calculer un angle connaissant deux côtés

Quand ? On connaît deux côtés et on cherche la mesure d'un angle aigu.

Identifier les deux côtés connus et choisir $cos$ , $sin$ ou $tan$ .
Écrire le rapport, par exemple $cos (A) = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ .
Calculer la valeur du rapport.
Utiliser la touche inverse de la calculatrice ( $cos^{- 1}$ , $sin^{- 1}$ ou $tan^{- 1}$ ) pour trouver l'angle.

Exemple éclair : adjacent $= 5$ , hypoténuse $= 10$ : $cos (A) = \frac{5}{10} = 0, 5$ donc $A = 6 0^{\circ}$ .

Type 6 : Vérifier un résultat avec les angles du triangle

Quand ? Pour contrôler un angle trouvé dans un triangle rectangle.

Rappeler que la somme des angles d'un triangle vaut $18 0^{\circ}$ .
Comme un angle vaut $9 0^{\circ}$ , les deux angles aigus ont pour somme $9 0^{\circ}$ .
Additionner les deux angles aigus pour vérifier qu'on obtient bien $9 0^{\circ}$ .
Si la somme n'est pas $9 0^{\circ}$ , reprendre le calcul.

Exemple éclair : si un angle aigu vaut $6 0^{\circ}$ , l'autre vaut $9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

قراءة التقارير

Facile

Énoncé

في مثلث ABC قائم الزاوية في A، لدينا AB = 6 cm و BC = 10 cm.

احسب AC.
اكتب قيم $cos (B)$ و $sin (B)$ و $tan (B)$ .

Ma réponse

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير حول المثلث القائم الزاوية

II. النسب المثلثية الثلاث

III. قيم خاصة

IV. العلاقة الأساسية

V. الزوايا المتتامة

VI. حساب ضلع مجهول

VII. حساب زاوية مجهولة

VIII. تطبيق — زاوية السمت وزاوية الارتفاع

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

Méthodes types — Trigonométrie dans le triangle rectangle

Type 1 : Choisir la bonne formule (cos, sin, tan)

Type 2 : Calculer une longueur avec le cosinus

Type 3 : Calculer une longueur avec le sinus

Type 4 : Calculer une longueur avec la tangente

Type 5 : Calculer un angle connaissant deux côtés

Type 6 : Vérifier un résultat avec les angles du triangle

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

قراءة التقارير

القيم المضبوطة لـ 30°, 45°, 60°

القيم المميزة

احسب طول ضلع

حساب قياس زاوية

إيجاد زاوية

مسألة الارتفاع

احسب الضلع المحادي

مسألة أرض

تحديد زاوية باستعمال الجيب

حساب الوتر

حساب الجيب

حساب المماس

حساب جيب التمام

حساب الوتر

حساب الوتر

حساب sin و cos

حساب الوتر

استعمال المماس

Exercices Intermédiaires

حساب أضلاع مثلث قائم

زاوية الارتفاع والانخفاض

العلاقة الأساسية

زاوية الارتفاع

المحيط والحساب المثلثي

تطبيق مزدوج

المسافة بين نقطتين

مسألة ملاحية

ارتفاع بناية

مسألة علو

مسألة ملاحية

حساب قياس زاوية

مسألة إنشاء هندسي

حساب قياس زاوية

مسألة ارتفاع

المسافة بين نقطتين

Exercices Difficiles

مسألة ملاحية

الميل والانحدار

مسألة ملاحية وتوجيه

التحقق من زاوية قائمة بالمثلثات

مثلث كيفي بالتحليل

حساب ارتفاع بناية

مسألة ملاحية

حساب ارتفاع شجرة

برهان tan

برهان المماس

برهان المتساوية المثلثية

ارتفاع جبل

مسألة زاوية

تقدير ظل سارية

برهان خاصية