I. Définition
Un système de deux équations à deux inconnues x et y est un couple d'équations à résoudre simultanément :
{ a₁x + b₁y = c₁ (L₁)
a₂x + b₂y = c₂ (L₂)
Une solution du système est un couple (x, y) qui vérifie les deux équations à la fois.
II. Méthode par substitution
- Isoler une inconnue dans l'une des deux équations (par exemple x en fonction de y dans L₁).
- Substituer cette expression dans l'autre équation (L₂) pour obtenir une équation à une seule inconnue.
- Résoudre cette équation.
- Remplacer la valeur trouvée pour obtenir l'autre inconnue.
- Vérifier en substituant dans les deux équations initiales.
Exemple : { 2x + y = 7 (L₁) et x − 3y = −4 (L₂)
De L₂ : x = 3y − 4. Substituer dans L₁ : 2(3y−4) + y = 7 ⇒ 7y = 15 ⇒ y = 15/7... (on préfère parfois la combinaison linéaire)
III. Méthode par combinaison linéaire (élimination)
- Multiplier les équations par des coefficients pour rendre les coefficients d'une inconnue opposés.
- Additionner membre à membre pour éliminer cette inconnue.
- Résoudre l'équation à une inconnue obtenue.
- Remplacer dans une équation pour trouver l'autre inconnue.
- Vérifier.
Exemple : { 2x + 3y = 7 (L₁) et 3x − y = 5 (L₂)
On multiplie L₂ par 3 : 9x − 3y = 15. On additionne avec L₁ : 11x = 22 ⇒ x = 2. Dans L₁ : 4 + 3y = 7 ⇒ y = 1. Solution : (2, 1).
IV. Interprétation graphique
Chaque équation ax + by = c représente une droite dans le plan. Le système peut avoir :
- Une solution unique : les deux droites sont sécantes (cas général).
- Aucune solution : les deux droites sont parallèles (strictement).
- Infinité de solutions : les deux droites sont confondues.
V. Mise en équation de problèmes
Pour résoudre un problème par un système :
- Identifier les deux inconnues et les nommer (x et y).
- Traduire les conditions du problème en deux équations.
- Résoudre le système.
- Vérifier que la solution est cohérente avec le contexte (âges positifs, quantités positives, etc.).
- Rédiger la réponse.