Trigonométrie dans le triangle rectangle — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

I. Rappels sur le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle en A, le côté opposé à l'angle droit (le plus grand côté) s'appelle l'hypoténuse.

Par rapport à un angle aigu B :

Le côté adjacent à B est le côté de B qui n'est pas l'hypoténuse.
Le côté opposé à B est le côté qui ne touche pas B.

II. Les trois rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle en A, pour un angle aigu B :

$cos (B) = \frac{c o ˆ t e ˊ adjacent}{hypot e ˊ nuse} = \frac{A B}{B C}$

$sin (B) = \frac{c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse} = \frac{A C}{B C}$

$tan (B) = \frac{c o ˆ t e ˊ oppos e ˊ}{c o ˆ t e ˊ adjacent} = \frac{A C}{A B}$

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA

Sin = Opposé / Hypoténuse
Cos = Adjacent / Hypoténuse
Tan = Opposé / Adjacent

III. Valeurs remarquables

Angle	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
cos	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
sin	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
tan	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	—

IV. Relation fondamentale

Pour tout angle aigu $α$ :

$cos^{2} (α) + sin^{2} (α) = 1$

Et aussi : $tan (α) = \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}$

V. Complémentarité des angles

Si $α + β = 90°$ (angles complémentaires), alors :

$sin (α) = cos (β) cos (α) = sin (β) tan (α) = \frac{1}{t a n ( β )}$

Autrement dit : $sin (α) = cos (90° - α)$ et $cos (α) = sin (90° - α)$ .

VI. Calculer un côté inconnu

Méthode : dans un triangle rectangle en A, connaissant un angle aigu B et un côté :

Si on connaît BC (hyp.) : $A C = B C \times sin (B)$ , $A B = B C \times cos (B)$ .
Si on connaît AB (adj.) : $A C = A B \times tan (B)$ , $B C = \frac{A B}{c o s ( B )}$ .
Si on connaît AC (opp.) : $A B = \frac{A C}{t a n ( B )}$ , $B C = \frac{A C}{s i n ( B )}$ .

VII. Calculer un angle inconnu

Si on connaît le rapport d'un sinus, cosinus ou tangente, on utilise la fonction réciproque (arcsin, arccos, arctan) à la calculatrice.

Exemple : $cos (B) = 0, 6 \Rightarrow B = arccos (0, 6) \approx 53, 13°$ .

Vérification : les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires $\Rightarrow$ leur somme doit être $90°$ .

VIII. Application — angle de gisement et d'élévation

L'angle d'élévation est l'angle entre la droite de visée vers un objet élevé et l'horizontale.
L'angle de dépression est l'angle entre la droite de visée vers un objet en contrebas et l'horizontale.

Dans les deux cas, on modélise par un triangle rectangle et on applique sin, cos ou tan selon ce qu'on cherche.

📈 Figure clé

cos α = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}

sin α = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}

🔑 Formules clés à retenir

$cos (B) = adjacent / hypot \overset{e}{ˊ} nuse$
$sin (B) = oppos \overset{e}{ˊ} / hypot \overset{e}{ˊ} nuse$
$tan (B) = oppos \overset{e}{ˊ} / adjacent$
$cos^{2} (α) + sin^{2} (α) = 1$
$tan (α) = sin (α) / cos (α)$
$sin (α) = cos (90° - α)$
Valeurs clés : $sin (30°) = 1/2$ , $cos (30°) = 3 /2$ , $tan (45°) = 1$ , $sin (60°) = 3 /2$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre adjacent et opposé — Ils dépendent de l'angle choisi ! Pour l'angle B : opposé = côté en face de B, adjacent = côté à côté de B (pas l'hypoténuse).

❌

Calculatrice en mode radians — En 3AC, toujours travailler en degrés. Vérifier le mode de la calculatrice avant de commencer.

❌

Inverser sin et cos — Mémo : SOH-CAH-TOA (Sin=Opposé/Hyp, Cos=Adjacent/Hyp, Tan=Opposé/Adjacent).

🟢 Astuces de pros

✅

Tableau à mémoriser (30°, 45°, 60°) :
$sin (30°) = \frac{1}{2}$ | $sin (45°) = \frac{2}{2}$ | $sin (60°) = \frac{3}{2}$
$cos (30°) = \frac{3}{2}$ | $cos (45°) = \frac{2}{2}$ | $cos (60°) = \frac{1}{2}$

💡

Pour trouver un angle : utiliser la fonction inverse (arcsin, arccos, arctan) sur la calculatrice. $arctan (\frac{3}{4})$ donne l'angle dont tan vaut $\frac{3}{4}$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Trigonométrie dans le triangle rectangle

Type 1 : Choisir la bonne formule (cos, sin, tan)

Quand ? Avant tout calcul, pour savoir quelle relation utiliser selon les côtés en jeu.

Repérer l'angle droit et l'angle aigu utilisé.
Nommer les côtés : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé à l'angle.
Choisir : $cos = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ , $sin = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ , $tan = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .
Retenir le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA.

Exemple éclair : si on connaît l'opposé et l'hypoténuse, on utilise $sin$ .

Type 2 : Calculer une longueur avec le cosinus

Quand ? On connaît un angle et l'hypoténuse, et on cherche le côté adjacent.

Écrire $cos (A) = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ .
Remplacer l'angle et l'hypoténuse par leurs valeurs.
Isoler le côté cherché : adjacent $=$ hypoténuse $\times cos (A)$ .
Calculer à la calculatrice.

Exemple éclair : hypoténuse $= 10$ , angle $6 0^{\circ}$ : adjacent $= 10 \times cos (6 0^{\circ}) = 10 \times 0, 5 = 5$ .

Type 3 : Calculer une longueur avec le sinus

Quand ? On connaît un angle et l'hypoténuse, et on cherche le côté opposé.

Écrire $sin (A) = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ .
Remplacer l'angle et l'hypoténuse par leurs valeurs.
Isoler : opposé $=$ hypoténuse $\times sin (A)$ .
Effectuer le calcul.

Exemple éclair : hypoténuse $= 8$ , angle $3 0^{\circ}$ : opposé $= 8 \times sin (3 0^{\circ}) = 8 \times 0, 5 = 4$ .

Type 4 : Calculer une longueur avec la tangente

Quand ? On connaît un angle et le côté adjacent, et on cherche le côté opposé.

Écrire $tan (A) = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .
Remplacer l'angle et l'adjacent par leurs valeurs.
Isoler : opposé $=$ adjacent $\times tan (A)$ .
Calculer le résultat.

Exemple éclair : adjacent $= 6$ , angle $4 5^{\circ}$ : opposé $= 6 \times tan (4 5^{\circ}) = 6 \times 1 = 6$ .

Type 5 : Calculer un angle connaissant deux côtés

Quand ? On connaît deux côtés et on cherche la mesure d'un angle aigu.

Identifier les deux côtés connus et choisir $cos$ , $sin$ ou $tan$ .
Écrire le rapport, par exemple $cos (A) = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ .
Calculer la valeur du rapport.
Utiliser la touche inverse de la calculatrice ( $cos^{- 1}$ , $sin^{- 1}$ ou $tan^{- 1}$ ) pour trouver l'angle.

Exemple éclair : adjacent $= 5$ , hypoténuse $= 10$ : $cos (A) = \frac{5}{10} = 0, 5$ donc $A = 6 0^{\circ}$ .

Type 6 : Vérifier un résultat avec les angles du triangle

Quand ? Pour contrôler un angle trouvé dans un triangle rectangle.

Rappeler que la somme des angles d'un triangle vaut $18 0^{\circ}$ .
Comme un angle vaut $9 0^{\circ}$ , les deux angles aigus ont pour somme $9 0^{\circ}$ .
Additionner les deux angles aigus pour vérifier qu'on obtient bien $9 0^{\circ}$ .
Si la somme n'est pas $9 0^{\circ}$ , reprendre le calcul.

Exemple éclair : si un angle aigu vaut $6 0^{\circ}$ , l'autre vaut $9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Lecture des rapports

Facile

Énoncé

Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 6 cm et BC = 10 cm.

Calculer AC.
Écrire les valeurs de $cos (B)$ , $sin (B)$ et $tan (B)$ .

Ma réponse

Trigonométrie dans le triangle rectangle

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🔴 Pièges classiques

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Type 2 : Calculer une longueur avec le cosinus

Type 3 : Calculer une longueur avec le sinus

Type 4 : Calculer une longueur avec la tangente

Type 5 : Calculer un angle connaissant deux côtés

Type 6 : Vérifier un résultat avec les angles du triangle

Trigonométrie dans le triangle rectangle — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Lecture des rapports

Valeurs exactes — 30°, 45°, 60°

Valeurs remarquables

Calculer un côté

Calculer un angle

Trouver un angle

Problème de la hauteur

Calculer le côté adjacent

Problème de terrain

Détermination d'un angle avec le sinus

Calcul de l'hypoténuse

Calcul du sinus

Calcul de la tangente

Calcul du cosinus

Calcul de l'hypoténuse

Calcul de l'hypoténuse

Calcul de sin et cos

Calcul de l'hypoténuse

Utilisation de la tangente

Exercices Intermédiaires

Calcul de côtés dans un triangle rectangle

Angle d'élévation et de dépression

Relation fondamentale

Angle d'élévation

Périmètre et trigonométrie

Double application

Distance entre deux points

Problème de navigation

Hauteur d'un bâtiment

Problème de hauteur

Problème de navigation

Calcul d'un angle

Problème de construction

Calcul d'un angle

Problème de hauteur

Distance entre deux points

Exercices Difficiles

Problème de navigation

Pente et inclinaison

Problème de navigation et cap

Vérification d'un angle droit par trigonométrie

Triangle quelconque par décomposition

Calcul de la hauteur d'un bâtiment

Problème de navigation

Calcul de la hauteur d'un arbre

Démonstration de tan

Démonstration de la tangente

Démonstration de l'égalité trigonométrique

Élévation d'une montagne

Problème d'angle

Évaluation de l'ombre d'un mât

Démonstration d'une propriété