Systèmes d'équations du premier degré — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف

إن نظمة معادلتين بمجهولين x و y هي زوج من المعادلات يجب حلها آنيا:

{ a₁x + b₁y = c₁ (L₁)
a₂x + b₂y = c₂ (L₂)

إن حل النظمة هو زوج (x, y) يحقق المعادلتين معا.

II. طريقة التعويض

عزل أحد المجهولين في إحدى المعادلتين (مثلا x بدلالة y في L₁).
تعويض هذا التعبير في المعادلة الأخرى (L₂) للحصول على معادلة بمجهول واحد.
حل هذه المعادلة.
تعويض القيمة التي تم الحصول عليها للحصول على المجهول الآخر.
التحقق بالتعويض في المعادلتين الأصليتين.

مثال: { 2x + y = 7 (L₁) و x − 3y = −4 (L₂)

من L₂ : x = 3y − 4. نعوض في L₁ : 2(3y−4) + y = 7 ⇒ 7y = 15 ⇒ y = 15/7... (أحيانا نفضل التأليفة الخطية)

III. طريقة التأليفة الخطية (الإقصاء)

ضرب المعادلات بمعاملات لجعل معاملي أحد المجهولين متقابلين.
جمع الطرفين لطرف لإقصاء هذا المجهول.
حل المعادلة بمجهول واحد التي تم الحصول عليها.
التعويض في إحدى المعادلات لإيجاد المجهول الآخر.
التحقق.

مثال: { 2x + 3y = 7 (L₁) و 3x − y = 5 (L₂)

نضرب L₂ في 3: 9x − 3y = 15. نجمع مع L₁ : 11x = 22 ⇒ x = 2. في L₁ : 4 + 3y = 7 ⇒ y = 1. الحل: (2, 1).

IV. التأويل المبياني

كل معادلة ax + by = c تمثل مستقيما في المستوى. يمكن أن يكون للنظمة:

حل وحيد: المستقيمان متقاطعان (الحالة العامة).
لا حل: المستقيمان متوازيان (قطعا).
عدد لا نهائي من الحلول: المستقيمان منطبقان.

V. صياغة المسائل في شكل معادلات

لحل مسألة بواسطة نظمة:

تحديد المجهولين وتسميتهما (x و y).
ترجمة شروط المسألة إلى معادلتين.
حل النظمة.
التحقق من أن الحل متوافق مع السياق (أعمار موجبة، كميات موجبة، إلخ).
صياغة الجواب.

🔑 Formules clés à retenir

التعويض: عزل x (أو y) في معادلة، ثم التعويض في المعادلة الأخرى.
التأليفية الخطية: الضرب لجعل معاملين متقابلين، ثم الجمع.
التحقق: تعويض الزوج (x, y) في كلتا المعادلتين.
التأويل الهندسي: مستقيمان متقاطعان ← حل وحيد؛ متوازيان قطعا ← لا حل؛ منطبقان ← عدد لا نهائي من الحلول.

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

التحقق في معادلة واحدة فقط — يجب أن يحقق الحل كلتا المعادلتين. عوض دائمًا في L₁ و L₂.

❌

خطأ في الإشارة عند التعويض — إذا قمنا بعزل x = 5 − 2y، فعوض x بـ (5 − 2y) مع الأقواس لتجنب أخطاء النشر.

❌

نسيان ضرب جميع الحدود — عند استخدام طريقة التأليف الخطي، اضرب كل حد في المعادلة، وليس الحد الأول فقط.

🟢 نصائح احترافية

✅

اختيار الطريقة الصحيحة: التعويض إذا كان أحد المعاملات يساوي 1 أو −1 (سهل العزل)؛ التأليف الخطي خلاف ذلك (أسرع).

💡

بالنسبة لمسائل صياغة المعادلات، سمِّ المجاهيل بوضوح في بداية الحل: "ليكن x ثمن قلم و y ثمن دفتر".

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Systèmes d'équations du premier degré à 2 inconnues

Type 1 : Résoudre par substitution

Quand ? Quand une inconnue est déjà isolée (ou facile à isoler) dans une équation.

Isole une inconnue dans une équation, par exemple $x$ en fonction de $y$ .
Remplace cette inconnue dans l'autre équation.
Résous l'équation à une seule inconnue obtenue.
Reporte la valeur trouvée pour calculer l'autre inconnue.

Exemple éclair : ${x = y + 1 2 x + y = 5$ donne $2 (y + 1) + y = 5$ , soit $3 y = 3$ , donc $y = 1$ et $x = 2$ .

Type 2 : Résoudre par combinaison (addition)

Quand ? Quand aucune inconnue n'est isolée et qu'on peut faire disparaître l'une d'elles en additionnant.

Multiplie une (ou les deux) équations pour obtenir des coefficients opposés sur une inconnue.
Additionne les deux équations membre à membre pour éliminer cette inconnue.
Résous l'équation à une inconnue restante.
Remplace dans une équation de départ pour trouver l'autre inconnue.

Exemple éclair : ${x + y = 5 x - y = 1$ : en additionnant, $2 x = 6$ donc $x = 3$ et $y = 2$ .

Type 3 : Vérifier qu'un couple est solution

Quand ? Quand on te donne un couple $(x; y)$ et qu'on demande s'il est solution du système.

Remplace $x$ et $y$ par les valeurs données dans la première équation.
Vérifie que l'égalité est vraie.
Fais de même avec la seconde équation.
Conclus : le couple est solution seulement si les deux égalités sont vraies.

Exemple éclair : $(3; 2)$ et ${x + y = 5 x - y = 1$ : $3 + 2 = 5$ ✓ et $3 - 2 = 1$ ✓, donc $(3; 2)$ est solution.

Type 4 : Mettre un problème en système

Quand ? Quand un énoncé décrit deux quantités inconnues liées par deux conditions.

Nomme les inconnues, par exemple $x$ et $y$ .
Traduis chaque phrase de l'énoncé par une équation.
Écris le système formé par les deux équations.
Résous-le par substitution ou combinaison, puis réponds à la question posée.

Exemple éclair : « 2 cahiers et 3 stylos coûtent 13 dh, 1 cahier et 1 stylo coûtent 5 dh » donne ${2 x + 3 y = 13 x + y = 5$ .

Type 5 : Reconnaître un système sans solution ou avec une infinité

Quand ? Quand après résolution on aboutit à une égalité toujours fausse ou toujours vraie.

Résous le système comme d'habitude.
Si tu obtiens une égalité fausse (par exemple $0 = 4$ ), le système n'a aucune solution.
Si tu obtiens une égalité toujours vraie (par exemple $0 = 0$ ), le système a une infinité de solutions.
Sinon, le système a un couple unique pour solution.

Exemple éclair : ${x + y = 2 x + y = 5$ : par soustraction $0 = 3$ , ce qui est faux, donc aucune solution.

Systèmes d'équations du premier degré — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

63 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 63 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

التحقق من حل

Facile

Énoncé

تحقق أن (3, −1) حل للنظمة: { 2x + 3y = 3 و x − y = 4 }.

Ma réponse

Systèmes d'équations du premier degré

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I. تعريف

II. طريقة التعويض

III. طريقة التأليفة الخطية (الإقصاء)

IV. التأويل المبياني

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Méthodes types

Méthodes types — Systèmes d'équations du premier degré à 2 inconnues

Type 1 : Résoudre par substitution

Type 2 : Résoudre par combinaison (addition)

Type 3 : Vérifier qu'un couple est solution

Type 4 : Mettre un problème en système

Type 5 : Reconnaître un système sans solution ou avec une infinité

Systèmes d'équations du premier degré — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

التحقق من حل

حل بالتعويض

حل بالتعويض

حل بالـتأليفية الخطية

مسألة – أعمار

Prix des bananes et des pommes

Prix d'un café et d'un jus

Deux nombres : somme et différence

Vérifier qu'un couple est solution (1)

Vérifier qu'un couple est solution (2)

Résoudre un système par substitution

Résoudre un système (solution simple)

Système somme-différence

معادلة السعر

عمر الأطفال

ثمن الفواكه

حل نظمة بسيطة

نظمات معادلتين بمجهولين

نظام المسافات

مسألة جداءات

توفير المال

اقتصاد النقل

بيع الفواكه

ميزانية العطلة

تقاسم مبلغ مالي

اقتصاد منتوجين

Exercices Intermédiaires

حل جملة بالتركيبة الخطية

مسألة تطبيقية: أثمان ومسافات

نظم معادلات - تأليف

مسألة - أوراق نقدية

مسألة - خليط

نظم ليس له حل وحيد

Résoudre un système par combinaison (1)

Résoudre un système par combinaison (2)

Résoudre un système à solution fractionnaire

Résoudre un système par combinaison (3)

Système sans solution

Système à une infinité de solutions

Résolution graphique : droites sécantes

Résolution graphique : droites confondues

تمرين تطبيقي

اقتصاد الطاقة

مذكرة سفر

بيع الملابس

اقتصاد لرحلة

Exercices Difficiles

مسألة هندسية

مسألة الثمن والكمية

نظم – أعمار ونسبة

نظم بمتر بارامتر — تحقق من حل

مسألة — السرعات

Système avec coefficients irrationnels

Système avec une équation produit (différence de carrés)

توازن الكفة

نظم معادلات تتضمن جداءات

معادلات بمجاهيل متعددة