I. تعريفات ومصطلحات
المتراجحة هي متساوية تتضمن مجهولاً واحداً أو أكثر. حل متراجحة يعني إيجاد مجموعة كل قيم المجهول التي تحققها.
تسمى هذه المجموعة مجموعة الحلول وغالباً ما يرمز لها بـ S.
رموز المتراجحات: < (أصغر قطعا)، ≤ (أصغر من أو يساوي)، > (أكبر قطعا)، ≥ (أكبر من أو يساوي).
II. خاصيات المتراجحات
لكل أعداد حقيقية a, b, c :
- الجمع/الطرح : إذا كان a < b، فإن a + c < b + c (يمكن إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المتراجحة، ويتم الحفاظ على اتجاه المتراجحة).
- الضرب بعدد موجب : إذا كان a < b و c > 0، فإن a·c < b·c (يتم الحفاظ على الاتجاه).
- الضرب بعدد سالب : إذا كان a < b و c < 0، فإن a·c > b·c (يتم عكس الاتجاه !).
القاعدة الذهبية : عند ضرب أو قسمة طرفي المتراجحة بعدد سالب، يجب عكس اتجاه المتراجحة.
III. حل متراجحة من الدرجة الأولى
نحل متراجحة من النوع ax + b < c (أو >, ≤, ≥) بنفس طريقة حل معادلة، بتطبيق نفس العمليات على الطرفين، مع الانتباه إلى الاتجاه :
- نشر وتبسيط إذا لزم الأمر.
- تجميع الحدود التي تحتوي على x في طرف، والثوابت في الطرف الآخر.
- القسمة على معامل x. إذا كان هذا المعامل سالباً، نعكس رمز المتراجحة.
- كتابة الحل على شكل مجال أو مجموعة.
مثال 1 : 3x − 5 > 7
3x > 12 ⇒ x > 4. الحل : S = ]4 ; +∞[.
مثال 2 : −2x + 6 ≤ 12
−2x ≤ 6 ⇒ x ≥ −3 (نقسم على −2، فنقلب الاتجاه). الحل : S = [−3 ; +∞[.
IV. جدول الإشارة
لدراسة إشارة تعبير من النوع ax + b :
- إيجاد الجذر (الصفر) : ax + b = 0 ⇒ x = −b/a.
- ملء الجدول : إشارة ax + b هي إشارة a عندما x > −b/a، والإشارة المعاكسة عندما x < −b/a (تنعدم عند x = −b/a).
| x | −∞ | −b/a | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ax + b | إشارة (−a) | 0 | إشارة a | ||
V. إشارة جداء أو خارج
لحل (ax + b)(cx + d) > 0 أو (ax + b)/(cx + d) > 0 :
- إيجاد جذور كل عامل.
- بناء جدول إشارة لكل عامل.
- ضرب (أو قسمة) الإشارات سطراً بسطر.
- قراءة الحل حسب الإشارة المطلوبة.
قاعدة الإشارات : (+)×(+) = (+)، (−)×(−) = (+)، (+)×(−) = (−).
VI. تقاطع واتحاد المجالات
لحل نظام متراجحات (شرطان متزامنان) :
- "و" (الشرط "و") : تقاطع مجموعات الحلول ∩.
- "أو" (الشرط "أو") : اتحاد مجموعات الحلول ∪.
مثال : x > 2 و x ≤ 7 ⇒ S = ]2 ; 7].