Dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. كاردينال مجموعة منتهية

تكون المجموعة E منتهية إذا كانت تحتوي على عدد منتهٍ من العناصر. يسمى هذا العدد كاردينال E ويرمز له بـ card(E) أو |E|.

عد مجموعة يعني تحديد كاردينالها.

II. المبدأ الإضافي والمبدأ الضربي

المبدأ الإضافي (أو مبدأ الاختيارات الحصرية) : إذا كانت A و B مجموعتين منتهيتين منفصلتين ( $A \cap B = \emptyset$ )، فإن :

$card (A \cup B) = card (A) + card (B)$

الحالة العامة (A و B كيفيتين) :

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$

المبدأ الضربي (أو مبدأ الاختيارات المتتالية) : إذا كان موقف يتكون من k مرحلة متتالية تقدم على التوالي $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ إمكانية، فإن العدد الكلي للنتائج هو :

$n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$

مثال : لتكوين رمز مكون من 4 أرقام (كل رقم من 0 إلى 9، مع السماح بالتكرار)، لدينا $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$ رمز.

III. العاملي

لكل عدد صحيح $n \geq 1$ ، يسمى عاملي n، ويرمز له بـ $n!$ ، الجداء :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1$

حسب الاصطلاح : $0! = 1$ .

$1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040$ .

علاقة مفيدة : $n! = n \times (n - 1)!$

IV. التبديلات

تبديلة لمجموعة E مكونة من n عنصر هي ترتيب منظم لجميع عناصرها (يظهر كل عنصر مرة واحدة).

عدد تبديلات n عنصر هو :

$n!$

عدد طرق ترتيب 5 كتب على رف : $5! = 120$ .

V. الترتيبات

لتكن E مجموعة مكونة من n عنصر و p عدد صحيح حيث $0 \leq p \leq n$ . ترتيب p عنصر من E هو متتالية مرتبة من p عنصر مختلف مختارة من بين n عنصر.

عدد ترتيبات p عنصر من n هو :

$A_{n}^{p} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!}$

حالات خاصة : $A_{n}^{0} = 1, A_{n}^{1} = n, A_{n}^{n} = n!$

متى نستخدم الترتيب؟

نختار p عنصر من بين n.
الترتيب مهم (≠ التوافيق).
بدون تكرار (≠ القوائم من p عنصر).

مثال : عدد منصات التتويج (ذهبية، فضية، برونزية) من بين 10 عدائين = $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

VI. التوافيق

لتكن E مجموعة مكونة من n عنصر و p عدد صحيح حيث $0 \leq p \leq n$ . توفيقة p عنصر من E هي جزء (مجموعة جزئية) من E مكونة من p عنصر — بدون ترتيب، بدون تكرار.

عدد توافيق p عنصر من n هو :

$C_{n}^{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! \cdot ( n - p )!} = \frac{A _{n}^{p}}{p !}$

خصائص $C_{n}^{p}$ :

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1; C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ .
التماثل : $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ .
علاقة باسكال : $C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}$ .
المجموع : $p = 0 \sum n C_{n}^{p} = 2^{n}$ (عدد الأجزاء لمجموعة مكونة من n عنصر).

متى نستخدم التوافيق؟

نختار p عنصر من بين n.
الترتيب غير مهم (اختيار متزامن، فريق، لجنة، أوراق لعب).
بدون تكرار.

مثال : عدد فرق مكونة من 3 لاعبين من بين 10 = $C_{10}^{3} = 120$ .

VII. صيغة ثنائي الحد لنيوتن

لكل عدد صحيح $n \geq 0$ ولكل عددين حقيقيين a, b :

$(a + b)^{n} = p = 0 \sum n C_{n}^{p} \cdot a^{n - p} \cdot b^{p}$

أمثلة : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

VIII. ملخص — اختيار p من n

النوع	الترتيب	التكرار	العدد
قائمة من p عنصر (سحب مع الإرجاع)	نعم	نعم	$n^{p}$
ترتيب	نعم	لا	$A_{n}^{p}$
تبديلة (p = n)	نعم	لا	$n!$
توفيقة	لا	لا	$C_{n}^{p}$

📈 Figure clé

Arbre de dénombrement

🔑 Formules clés à retenir

المبدأ التجميعي (أو مبدأ الجداء): $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
التبديلات: $n!$
الترتيبات: $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
التوفيقات: $C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$
التماثل: $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$
Pascal: $C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}$
صيغة ثنائي الحد: $(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{p} \cdot a^{n - p} \cdot b^{p}$
$\sum C_{n}^{p} = 2^{n}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الترتيب ≠ التأليفة — الترتيب: الترتيب مهم (نختار 3 تلاميذ لرئيس، نائب رئيس، كاتب). التأليفة: الترتيب غير مهم (نختار 3 تلاميذ من مجموعة).

❌

0! = 1، وليس 0 — حسب الاصطلاح، 0! = 1. هذا ضروري لكي يكون C(n, 0) = 1 و C(n, n) = 1.

❌

C(n, p) معرف فقط عندما 0 ≤ p ≤ n — C(5, 7) غير موجود. تحقق دائمًا من أن p ≤ n قبل الحساب.

🟢 نصائح احترافية

✅

سؤال رئيسي قبل الحساب: "هل الترتيب مهم؟" إذا كان الجواب نعم ← ترتيب. إذا كان الجواب لا ← تأليفة. "مع الإحلال أم بدون إحلال؟" يغير الصيغة أيضًا.

💡

استخدم التماثل C(n, p) = C(n, n−p) للتبسيط: C(10, 8) = C(10, 2) = 45. اختر دائمًا الأصغر بين الاثنين.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Appliquer le principe multiplicatif

Quand ? Un choix se fait en plusieurs ÉTAPES successives (ET) : d'abord ceci, ensuite cela.

Découpe la situation en étapes ordonnées.
Compte le nombre de possibilités à chaque étape.
Vérifie que le nombre de possibilités d'une étape ne dépend pas des choix précédents.
Multiplie tous ces nombres entre eux.

Exemple éclair : Un menu avec $3$ entrées ET $4$ plats : $3 \times 4 = 12$ menus possibles.

Type 2 : Appliquer le principe additif

Quand ? Un choix se fait entre des cas SÉPARÉS et incompatibles (OU) : soit ceci, soit cela.

Identifie les différents cas possibles, qui ne se chevauchent pas.
Compte le nombre de possibilités dans chaque cas.
Vérifie qu'aucune possibilité n'est comptée deux fois.
Additionne les nombres obtenus.

Exemple éclair : Voyager en $2$ trains OU $3$ bus : $2 + 3 = 5$ moyens de transport possibles.

Type 3 : Construire un arbre de choix

Quand ? Le nombre de possibilités est petit et on veut VISUALISER toutes les issues.

Pars d'un point de départ (la racine).
Trace une branche pour chaque possibilité de la première étape.
Depuis chaque branche, trace les branches de l'étape suivante.
Compte le nombre d'extrémités (feuilles) : c'est le nombre total d'issues.
Liste chaque chemin si on demande d'énumérer les résultats.

Exemple éclair : Pile/Face lancé $2$ fois : l'arbre donne $4$ feuilles : PP, PF, FP, FF.

Type 4 : Compter des listes (tirages avec remise et ordre)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ , avec RÉPÉTITION possible et l'ORDRE compte (codes, plaques...).

Vérifie qu'un même élément peut être réutilisé (avec remise).
Vérifie que l'ordre des éléments compte.
À chaque position, il y a $n$ choix possibles.
Le nombre de listes est $n^{p}$ (n choix répété p fois).

Exemple éclair : Un code de $3$ chiffres ( $0$ à $9$ ) : $1 0^{3} = 1000$ codes possibles.

Type 5 : Compter des arrangements (tirages sans remise et ordre)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ , SANS répétition mais l'ORDRE compte (podium, classement...).

Vérifie qu'un élément ne peut pas être repris (sans remise).
Vérifie que l'ordre compte.
À la 1re position $n$ choix, à la 2e $n - 1$ choix, puis $n - 2$ ... pour $p$ positions.
Multiplie : le nombre vaut $n \times (n - 1) \times \dots \times (n - p + 1)$ .

Exemple éclair : Podium ( $1$ er, $2$ e, $3$ e) parmi $5$ coureurs : $5 \times 4 \times 3 = 60$ podiums.

Type 6 : Compter des permutations (ranger tous les éléments)

Quand ? On range TOUS les $n$ éléments dans un ordre, sans répétition.

Vérifie que tous les éléments sont utilisés et tous distincts.
À la 1re place $n$ choix, à la 2e $n - 1$ , et ainsi de suite jusqu'à $1$ .
Multiplie tous ces nombres : c'est $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ .
Rappelle-toi que $0! = 1$ et $1! = 1$ .

Exemple éclair : Ranger $4$ livres sur une étagère : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ rangements.

Type 7 : Choisir la bonne méthode (ordre ? répétition ?)

Quand ? Avant tout dénombrement, pour ne pas se tromper de formule.

Demande-toi : l'ordre des éléments change-t-il le résultat ?
Demande-toi : un même élément peut-il se répéter ?
Ordre compte + avec remise $\Rightarrow$ liste : $n^{p}$ .
Ordre compte + sans remise $\Rightarrow$ arrangement : $n \times (n - 1) \times \dots$ ; si on prend tout $\Rightarrow$ permutation $n!$ .
Découpe ensuite en étapes (multiplicatif) ou en cas (additif) selon la situation.

Exemple éclair : Tirer $2$ lettres distinctes ordonnées parmi $A, B, C$ : sans remise, ordre compte $\Rightarrow 3 \times 2 = 6$ tirages.

Dénombrement — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

61 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 61 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

اختيار المشروبات

Facile

Énoncé

يقترح مقهى بمراكش 3 أنواع من الشاي و نوعين من القهوة. ما هو عدد اختيارات المشروبات الممكنة؟

Ma réponse

Dénombrement

Dénombrement — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. كاردينال مجموعة منتهية

II. المبدأ الإضافي والمبدأ الضربي

III. العاملي

IV. التبديلات

V. الترتيبات

VI. التوافيق

VII. صيغة ثنائي الحد لنيوتن

VIII. ملخص — اختيار p من n

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Appliquer le principe multiplicatif

Type 2 : Appliquer le principe additif

Type 3 : Construire un arbre de choix

Type 4 : Compter des listes (tirages avec remise et ordre)

Type 5 : Compter des arrangements (tirages sans remise et ordre)

Type 6 : Compter des permutations (ranger tous les éléments)

Type 7 : Choisir la bonne méthode (ordre ? répétition ?)

Dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

اختيار المشروبات

عد الفواكه

اختيار الملابس

أعداد رمزية

حلويات للاختيار

فساتين الزفاف

عد الفواكه

اختيار الملابس

زيارة مدن

اختيار الحلويات

عد الكتب

عدد مجموعة

عد الفواكه

اختيار الملابس

عد الطلبة

حسابات العاملي

مبدأ الجداء

ترتيب أم تأليفة

Exercices Intermédiaires

توليفات الفواكه

فريق المشروع

تذوق الشاي

أرقام الحافلات

عد التوفيقات

تكوين فرق

تذوق الأطباق

ترتيب الكتب

اختيار كتب

تخطيط حفل

أعلام الجهات

رموز الأمان

ترتيب الكتب

أكياس الحلوى

اختيار الفواكه

تباديل الأسماء

العد مع قيود

مسار في شبكة

مثلث باسكال والمتطابقات

لجنة - سحب

عدد بأرقام مختلفة

جناس

صيغة ثنائي الحد

Exercices Difficiles

مجموعة الأصدقاء

ترتيبات الفواكه

اختيار كتب

ترتيب أدوات المائدة

تخطيط الرحلات

انتخابات الممثلين

توزيع الحلوى

خلط البطاقات