كم تمرينًا مصحّحًا في درس «المعادلات والمتراجحات» ؟

يتوفّر 64 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «المعادلات والمتراجحات» في Tronc Commun ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «المعادلات والمتراجحات» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـTronc Commun بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Équations et inéquations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

معادلات من الدرجة الأولى

ax + b = 0 ⇒ x = -b/a (إذا كان a ≠ 0)

معادلات من الدرجة الثانية

انظر فصل كثيرات الحدود للمميز.

متراجحات من الدرجة الأولى

ax + b > 0 : إذا كان a > 0 فإن x > -b/a ؛ إذا كان a < 0 فإن x < -b/a

متراجحات من الدرجة الثانية

لحل ax² + bx + c > 0 (أو <, ≤, ≥) :
1. حساب Δ
2. إيجاد الجذور (إن وجدت)
3. دراسة الإشارة حسب جدول الإشارة

إشارة ax² + bx + c

إذا كان Δ < 0 : نفس إشارة a لكل x
إذا كان Δ = 0 : نفس إشارة a باستثناء x₀ حيث تكون 0
إذا كان Δ > 0 : إشارة a خارج الجذرين، إشارة معاكسة بين الجذرين

نظم المعادلات الخطية

النظم : ax + by = e و cx + dy = f
الطرق : التعويض، التأليف الخطي، Cramer (إذا كان ad - bc ≠ 0)

📈 Figure clé

Signe du trinôme via la parabole

🔑 Formules clés à retenir

طريقة Cramer : x = (ed - bf)/(ad - bc), y = (af - ce)/(ad - bc)
إشارة ax² + bx + c : إشارة a خارج الجذرين

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

إشارة ax² + bx + c : القاعدة الذهبية — إذا كان Δ > 0، فإن ثلاثية الحدود لها إشارة a خارج الجذرين والإشارة المعاكسة بين الجذرين. إذا كان Δ < 0، فإن الإشارة هي إشارة a في كل مكان.

❌

المتراجحة من الدرجة الثانية : لا تخمن، أنشئ الجدول — لا يمكن حل ax² + bx + c > 0 مباشرة. أوجد الجذور، أنشئ جدول الإشارة، ثم اقرأ الحل.

❌

قاعدة Cramer لا تعمل إلا إذا كان ad − bc ≠ 0 — إذا كان المحدد منعدمًا، فإن النظمة إما غير متوافقة أو لها عدد لا نهائي من الحلول.

🟢 نصائح احترافية

✅

مذكرة جدول إشارة ثلاثية الحدود : إذا كان a > 0 و Δ > 0، فإن ثلاثية الحدود سالبة بين x₁ و x₂، وموجبة خارجهما. "ثلاثية الحدود لها إشارة a باستثناء ما بين جذريها."

💡

لحل متراجحة جداء، قم أولاً بالتعميل الكامل، ثم أنشئ جدول إشارة كل عامل على حدة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المعادلات والمتراجحات

النوع 1: حل معادلة من الدرجة الأولى

متى؟ معادلة من الشكل $a x + b = 0$ أو قابلة للإرجاع إلى $a x = c$ بعد النشر.

انشر واختزل الطرفين.
اجمع الحدود التي تحتوي على $x$ في اليسار، والثوابت في اليمين.
إذا كان $a \neq = 0$ : $x = \frac{c}{a}$ .
حالات خاصة: إذا كان $0 \cdot x = 0$ عدد لانهائي من الحلول؛ إذا كان $0 \cdot x = c \neq = 0$ لا يوجد حل.

مثال سريع: $3 x - 6 = 0 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ ، إذن $S = {2}$ .

النوع 2: حل معادلة من الدرجة الثانية

متى؟ معادلة قابلة للإرجاع إلى $a x^{2} + b x + c = 0$ مع $a \neq = 0$ .

ضع كل شيء في طرف واحد للحصول على $\dots = 0$ .
إذا كانت الصيغة ناقصة: حلل (وضع عامل مشترك أو متطابقة هامة) واستعمل "جداء معدوم".
وإلا احسب $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا كان $Δ > 0$ : $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ؛ إذا كان $Δ = 0$ : $x = \frac{- b}{2 a}$ ؛ إذا كان $Δ < 0$ : $S = \emptyset$ .

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $Δ = 1$ ، $S = {2; 3}$ .

النوع 3: حل متراجحة من الدرجة الأولى

متى؟ متراجحة من الشكل $a x + b \leq 0$ (أو $<$ ، $\geq$ ، $>$ ).

انشر، اختزل، اعزل $x$ كما في المعادلة.
عندما تقسم (أو تضرب) على عدد سالب، اعكس الاتجاه.
اكتب مجموعة الحلول على شكل مجال.
تحقق من اتجاه القوس: مغلق إذا كانت المتراجحة واسعة، مفتوح إذا كانت صارمة.

مثال سريع: $- 2 x + 4 > 0 \Rightarrow - 2 x > - 4 \Rightarrow x < 2$ ، إذن $S =] - \infty; 2 [$ .

النوع 4: حل متراجحة من الدرجة الثانية (جدول الإشارة)

متى؟ متراجحة $a x^{2} + b x + c \leq 0$ (أو اتجاه آخر).

أرجع إلى $\dots ? 0$ ، احسب $Δ$ والجذور.
تذكر القاعدة: ثلاثية الحدود لها إشارة $a$ خارج الجذور، وإشارة $- a$ بينهما.
أنشئ جدول الإشارة.
اختر المجالات المطابقة للإشارة المطلوبة واستنتج $S$ .

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ : الجذور $2$ و $3$ ، $S = [2; 3]$ .

النوع 5: حل جملة معادلتين

متى؟ معادلتان من الدرجة الأولى بمجهولين $x$ و $y$ .

طريقة التعويض: اعزل مجهولاً في معادلة، عوضه في الأخرى.
أو طريقة التركيب: اضرب المعادلات لحذف مجهول بالجمع.
حل المعادلة بمجهول واحد المحصل عليها.
عوض لإيجاد المجهول الآخر؛ اكتب الثنائي الحل $(x; y)$ .

مثال سريع: ${x + y = 5; x - y = 1}$ : الجمع يعطي $2 x = 6$ ، $x = 3$ ، $y = 2$ ، إذن $S = {(3; 2)}$ .

النوع 6: حل معادلة/متراجحة بقيمة مطلقة

متى؟ وجود $∣ A (x) ∣ = k$ ، $∣ A (x) ∣ \leq k$ أو $∣ A (x) ∣ \geq k$ .

$∣ A ∣ = k$ (مع $k \geq 0$ ): يكافئ $A = k$ أو $A = - k$ .
$∣ A ∣ \leq k$ : يكافئ $- k \leq A \leq k$ .
$∣ A ∣ \geq k$ : يكافئ $A \leq - k$ أو $A \geq k$ .
إذا كان $k < 0$ : لا يوجد حل لـ $=$ أو $\leq$ ؛ صحيح دائماً لـ $\geq$ .
حل كل حالة واجمع الحلول.

مثال سريع: $∣2 x - 1∣ = 3 \Rightarrow 2 x - 1 = 3$ أو $2 x - 1 = - 3$ ، إذن $S = {2; - 1}$ .

النوع 7: حل معادلة جذرية

متى؟ المجهول تحت جذر: $A (x) = B (x)$ .

ضع شروط الوجود: $A (x) \geq 0$ .
للتربيع، افرض أيضاً $B (x) \geq 0$ (المربع/الجذر $\geq 0$ ).
ربّع الطرفين: $A (x) = (B (x))^{2}$ .
حل المعادلة المحصل عليها، ثم تحقق من كل حل في الشروط.
ارفض الحلول التي لا تحترم الشروط.

مثال سريع: $x + 1 = 2$ : الشروط $x \geq - 1$ ، نربّع: $x + 1 = 4$ ، $x = 3$ (مقبول)، $S = {3}$ .

النوع 8: الحل بجدول الإشارة (جداء/خارج قسمة)

متى؟ متراجحة من نوع جداء $\geq 0$ أو خارج قسمة $\frac{A}{B} \leq 0$ .

أرجع إلى مقارنة بـ $0$ (طرف واحد، محلل).
أوجد القيم التي تلغي كل عامل (والتي تلغي المقام: قيم ممنوعة).
أنشئ جدول إشارة كل عامل، ثم الجداء/خارج القسمة (قاعدة الإشارات).
اقرأ المجالات ذات الإشارة المطلوبة؛ استثنِ دائماً القيم الممنوعة للمقام.

مثال سريع: $\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ : $S =] - \infty; - 2 [\cup [1; + \infty [$ ( $- 2$ مستثنى، $1$ مدرج).

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

64 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 64 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Équations du premier degré

Facile

Énoncé

حل في $R$ المعادلات التالية:

$- 5 x + 3 = - 3 x + 2$
$3 (x + 4) = - (x + 5) + 2$

Ma réponse

Équations et inéquations

Équations et inéquations — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

معادلات من الدرجة الأولى

معادلات من الدرجة الثانية

متراجحات من الدرجة الأولى

متراجحات من الدرجة الثانية

إشارة ax² + bx + c

نظم المعادلات الخطية

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — المعادلات والمتراجحات

النوع 1: حل معادلة من الدرجة الأولى

النوع 2: حل معادلة من الدرجة الثانية

النوع 3: حل متراجحة من الدرجة الأولى

النوع 4: حل متراجحة من الدرجة الثانية (جدول الإشارة)

النوع 5: حل جملة معادلتين

النوع 6: حل معادلة/متراجحة بقيمة مطلقة

النوع 7: حل معادلة جذرية

النوع 8: الحل بجدول الإشارة (جداء/خارج قسمة)

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équations du premier degré

حل في R المعادلات التالية:

Équations-produits

حل في R المعادلات التالية:

Équations du type carré

حل في R المعادلات التالية:

Équation linéaire à deux inconnues

Système par substitution

حل بطريقة التعويض الجملة:

حل المعادلة 2(x - 3) = 4

حل معادلة بسيطة

معادلة بحد سالب

معادلة بكسر

حل المعادلة 4x - 1 = 11

متراجحة بمعامل سالب

حل (x+2)/4 = 3 بطريقة مباشرة

مسألة تتضمن متراجحة

معادلة بمجهول واحد

حل (x+2)/4 = 3 بتحويلها لمعادلة صحيحة

معادلة بمجهول واحد

حل المعادلة 5x - 4 = 16

متراجحة وحيدة الحل

نظمات خطية

نظم 2×2 بالتعويض وكرايمر

متراجحة بالقيمة المطلقة (1)

متراجحة جداء – إشارة جداء

معادلة بقيمة مطلقة: حالتان

Exercices Intermédiaires

Équations avec quotients

حل في R المعادلات التالية:

Inéquation-produit

حل في R المتراجحة:

Équations avec valeur absolue

حل في R المعادلات التالية:

Inéquations avec valeur absolue

حل في R المتراجحات التالية:

Équations du second degré (discriminant)

حل في R المعادلات التالية:

Factorisation de trinômes

تحليل كثيرات الحدود الثلاثية التالية:

Fonction du second degré et forme factorisée

متراجحتان: x²-4x+3≥0 و x²+3x-5<-x+2

Système par combinaison linéaire

حل بطريقة التوليفات الخطية النظام التالي:

نظام خطي 2x+3y=12 و 4x−y=1

متراجحة تتضمن تعبيرًا سالبًا

نظام خطي بطريقة الجمع: 2x+3y=12، x−y=1

نظم المعادلات

حل المتراجحة x²-4x-5 ≤ 0

حل x²-5x+6=0 (مستوى متوسط)

متراجحة بمجهول واحد

متراجحة بدلالة بارامتر

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المتراجحة:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المتراجحات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلة:

حل في $R$ المتراجحة:

ناقش، حسب قيم المعامل الحقيقي $m$ ، حلول المعادلة:

حل في $R^{2}$ الجملة: