Polynômes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

تعريف

إن كثير الحدود

P (x)

هو تعبير على الشكل التالي:

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

حيث

a_{n} \neq = 0

، و

n

هي الدرجة.

العمليات على كثيرات الحدود

المجموع: $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$
الجداء: $de g (P \times Q) = de g P + de g Q$

جذور كثير الحدود

a

هو جذر لـ

P

إذا كان

P (a) = 0

. إذا كان

a

جذراً، فإن

(x - a)

يقسم

P (x)

كثير الحدود من الدرجة الثانية: $a x^{2} + b x + c$

المميز:

Δ = b^{2} - 4 a c

$Δ > 0$ : جذران $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ و $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
$Δ = 0$ : جذر مزدوج $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
$Δ < 0$ : لا توجد جذور حقيقية

التعميل

$Δ > 0$ : $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$Δ = 0$ : $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$

العلاقات بين المعاملات والجذور

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

;

x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

📈 Figure clé

Parabole

x^{2} - 2 x - 3

(racines

- 1

3

)

🔑 Formules clés à retenir

$Δ = b^{2} - 4 a c$
$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

خطأ في حساب المميز — Δ = b² − 4ac. انتبه للإشارة: إذا كان b سالباً، فإن b² موجب. إذا لم تكن ax² + bx + c على الشكل القياسي، أعد ترتيبها أولاً.

❌

Δ = 0 ⇒ جذر واحد، وليس جذرين — x = −b/(2a). لا تكتب جذرين متطابقين وكأنهما حلان مختلفان.

❌

نسيان وضع المعادلة على الشكل ax² + bx + c = 0 قبل تطبيق الصيغة — يجب أن تكون جميع الحدود في نفس الطرف من المعادلة.

🟢 نصائح احترافية

✅

علاقات Viète للتحقق: x₁ + x₂ = −b/a و x₁ × x₂ = c/a. إذا كانت الجذور التي تم إيجادها لا تحقق هذه العلاقات، فهناك خطأ.

💡

التعميل السريع: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). مفيد جداً لحل المتراجحات من الدرجة الثانية لاحقاً.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — كثيرات الحدود

النوع 1: تحديد الدرجة والمعاملات

متى؟ عندما يُعطى لك كثير حدود ويُطلب منك درجته أو معامله المهيمن أو حده الثابت.

انشر واختزل كثير الحدود (اجمع الحدود ذات الأس نفسه).
الدرجة هي أكبر أس لـ $x$ الذي معامله غير معدوم.
المعامل المهيمن هو معامل الحد ذي الدرجة الأعلى.
الحد الثابت هو $P (0)$ (الحد الذي لا يحتوي على $x$ ).

مثال سريع: $P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 1$ من الدرجة $3$ ، المعامل المهيمن $2$ ، الحد الثابت $1$ .

النوع 2: حساب صورة $P (a)$ واختبار جذر

متى؟ عندما يُطلب $P (a)$ أو التحقق من أن $a$ جذر لـ $P$ .

عوّض كل $x$ بـ $a$ بين قوسين.
احسب الأسس أولاً، ثم الجداءات، ثم المجاميع.
إذا كانت النتيجة تساوي $0$ ، فإن $a$ هو جذر لـ $P$ .
الخلاصة: $a$ جذر $⟺ P (a) = 0 ⟺ (x - a)$ يقسم $P (x)$ .

مثال سريع: $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ، $P (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ إذن $1$ جذر.

النوع 3: التحليل بـ $(x - a)$ عندما يكون $a$ جذراً

متى؟ عندما يكون جذر واضح $a$ معروفاً (غالباً $P (1) = 0$ أو $P (- 1) = 0$ ) ونريد التحليل.

تحقق من أن $a$ جذر فعلاً: $P (a) = 0$ .
اكتب $P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ حيث $Q$ درجته أقل بواحد.
أوجد $Q (x)$ بواسطة القسمة الإقليدية أو المطابقة بين المعاملات.
إن أمكن، حلل $Q (x)$ مرة أخرى (ثلاثية الحدود).

مثال سريع: $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ، الجذر $1$ : $P (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

النوع 4: إجراء القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود

متى؟ عندما يُطلب خارج قسمة وباقي قسمة $A (x)$ على $B (x)$ .

رتب $A$ و $B$ حسب الأسس التنازلية، دون نسيان الحدود الناقصة (معامل $0$ ).
اقسم الحد المهيمن لـ $A$ على الحد المهيمن لـ $B$ : الحد الأول من خارج القسمة.
اضرب $B$ في هذا الحد، اطرح من $A$ ، أنزل الباقي.
كرر العملية ما دامت درجة الباقي $\geq$ درجة $B$ .
الخلاصة: $A = B \cdot Q + R$ حيث $de g R < de g B$ .

مثال سريع: $(x^{2} - 1) \div (x - 1)$ يعطي خارج قسمة $x + 1$ وباقي $0$ .

النوع 5: حساب المميز وجذور ثلاثية الحدود

متى؟ كثير حدود من الدرجة الثانية $a x^{2} + b x + c$ مع $a \neq = 0$ ؛ نبحث عن جذوره.

حدد $a$ ، $b$ ، $c$ .
احسب $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا كان $Δ > 0$ : جذران $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
إذا كان $Δ = 0$ : جذر مضاعف $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
إذا كان $Δ < 0$ : لا يوجد جذر حقيقي.

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6$ : $Δ = 25 - 24 = 1$ ، الجذران $\frac{5 \pm 1}{2}$ ، أي $2$ و $3$ .

النوع 6: تحليل ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

متى؟ عندما يُطلب الشكل المحلل لـ $a x^{2} + b x + c$ .

احسب $Δ$ والجذور (النوع 5).
إذا كان هناك جذران $x_{1}, x_{2}$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
إذا كان جذر مضاعف $x_{0}$ : $a (x - x_{0})^{2}$ .
إذا كان $Δ < 0$ : ثلاثية الحدود لا تُحلل في $R$ .
لا تنسَ أبداً العامل $a$ أمام التحليل.

مثال سريع: $2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x - 3) (x + 1)$ (الجذران $3$ و $- 1$ ).

النوع 7: دراسة إشارة ثلاثية الحدود

متى؟ عندما يُطلب إشارة $a x^{2} + b x + c$ حسب $x$ ، أو جدول إشارات.

احسب $Δ$ .
إذا كان $Δ > 0$ (جذران): ثلاثية الحدود بإشارة $a$ خارج الجذرين، وبإشارة $- a$ بين الجذرين.
إذا كان $Δ = 0$ : بإشارة $a$ في كل مكان، إلا معدومة عند $x_{0}$ .
إذا كان $Δ < 0$ : دائماً بإشارة $a$ ، لا تنعدم أبداً.
أنشئ جدول الإشارات للاستنتاج.

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ على $] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [$ و $< 0$ على $] 2; 3 [$ .

النوع 8: استعمال مجموع وجداء الجذور

متى؟ عندما يُطلب مجموع/جداء الجذور، أو إيجاد عددين بمعرفة مجموعهما وجداءهما.

لـ $a x^{2} + b x + c$ : المجموع $S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ ، الجداء $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
تحقق أولاً من أن $Δ \geq 0$ (وإلا لا توجد جذور حقيقية).
عددان مجموعهما $S$ وجداءهما $P$ هما جذرا $X^{2} - S X + P = 0$ .
حل هذه المعادلة لإيجادهما.

مثال سريع: عددان مجموعهما $5$ وجداءهما $6$ : جذرا $X^{2} - 5 X + 6$ ، أي $2$ و $3$ .

Polynômes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

65 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 65 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

التعميل

Facile

Énoncé

عَمِّلْ بإبراز العامل المشترك:

$6 x^{2}$ + $9 x$
$4 a^{2} b$ − $8 a b^{2}$
$3 (x + 1)$ − $x (x + 1)$
$2 x^{2}$ − $5 x$ − $3$ (ابحث عن الجذور ثم عَمِّلْ)

Ma réponse

Polynômes

Polynômes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

تعريف

العمليات على كثيرات الحدود

جذور كثير الحدود

كثير الحدود من الدرجة الثانية: ax2+bx+c

التعميل

العلاقات بين المعاملات والجذور

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — كثيرات الحدود

النوع 1: تحديد الدرجة والمعاملات

النوع 2: حساب صورة P(a) واختبار جذر

النوع 3: التحليل بـ (x−a) عندما يكون a جذراً

النوع 4: إجراء القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود

النوع 5: حساب المميز وجذور ثلاثية الحدود

النوع 6: تحليل ثلاثية حدود من الدرجة الثانية

النوع 7: دراسة إشارة ثلاثية الحدود

النوع 8: استعمال مجموع وجداء الجذور

Polynômes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

التعميل

قيمة دالة حدودية

نشر وتبسيط

درجة وحدودية متعددة الحدود

Racine et factorisation d'un trinôme

Division d'un polynôme par (x − a)

Reste de la division par (x + 1)

Valeur du paramètre pour une divisibilité

جمع كثيرات الحدود

مجموع كثيرات الحدود

جداء الحدوديات

جذور متعددة الحدود

العامل المشترك

جمع كثيرات الحدود

جداء الحدوديات

جداء الحدوديات

جذرية حدودية

تحديد درجة حدودية

جذور ثلاثية الحدود

تعميل حدودية

حل معادلات الدرجة الثانية

الحدوديات والمتطابقات الهامة

القسمة الإقليدية للحدوديات

مبرهنة بيزو والجذور

تعميل ثلاثية الحدود بالمميز

Exercices Intermédiaires

استعمال المتطابقات الهامة

المتطابقات الهامة 2AC

تعميل

نشر تعابير

عامل باستعمال المتطابقات الهامة

Factorisation et encadrement d'une valeur

Factorisation en trois facteurs de degré 1

Égalité de deux polynômes

Degré d'un polynôme selon un paramètre

حل معادلة حدودية

علاقات بين المعاملات والجذور

حل معادلة من الدرجة الثانية

الجذور والمعاملات

معادلة بمجهول واحد

الجداء والجذور

علاقات المعاملات بالجذور

تفكيك إلى جداء عوامل غير قابلة للاختزال

التعميل والإشارة

التعميل والتبسيط

جدول إشارة ثلاثية الحدود

القسمة الإقليدية للحدوديات

علاقات المعاملات والجذور وإعادة الإنشاء

Exercices Difficiles

مسألة حول الحدوديات

مسألة — حدودية ومساحة

تبسيط التعابير الجبرية الكسرية

كثير الحدود من الدرجة الثانية: $a x^{2} + b x + c$

النوع 2: حساب صورة $P (a)$ واختبار جذر

النوع 3: التحليل بـ $(x - a)$ عندما يكون $a$ جذراً