1. مستطيل طوله $(x+5)$ cm وعرضه $(x-2)$ cm. عبر عن المساحة $A(x)$ بدلالة $x$. ما هي قيمة $x$ التي تكون من أجلها المساحة $24$ cm${}^2$ ؟
2. عامل ما يلي تعاملا كاملا: $3x^2-12$ ثم حل المعادلة $3x^2-12=0$.

مربع طول ضلعه $x$ cm تم توسيعه: زاد طوله بـ 3 cm وزاد عرضه بـ 2 cm، مكونًا مستطيلاً.

1. عبر عن مساحة المستطيل A(x) بالنشر.
2. بكم تزيد المساحة مقارنة بالمربع الأصلي؟
3. لأية قيمة لـ $x$ تكون مساحة المستطيل ضعف مساحة المربع؟

بسّط الكسور التالية عن طريق تعميل البسط و/أو المقام:

1. ($x^2$ - 4) / (x - 2)
2. ($x^2$ - 9) / (x + 3)
3. ($x^2$ + 4x + 4) / (x + 2)
4. حل المعادلة: ($x^2$ - 25) / (x - 5) = 0

1. أحسب $99^2$ باستعمال المتطابقة الهامة $(a-b{)}^2$ = $a^2$ - $2ab$ + $b^2$.
2. أحسب $51\times 49$ باستعمال المتطابقة الهامة $(a+b)(a-b)$ = $a^2$ - $b^2$.
3. عَمِّل كلياً: $2x^3$ - $8x$.

حل المعادلات التالية بالتعميل:

1. $x^2$ - x - 6 = 0
2. $4x^2$ - 12x + 9 = 0
3. $x^2$ - 9 = 0

نعتبر كثير الحدود $P(x)=2x^3-7x^2+7x-2$.

1. تحقق من أن $0$ ليس جذرا لـ $P(x)$.

2. بين أنه إذا كان $\alpha$ جذرا غير معدوم لـ $P(x)$، فإن $\frac{1}{\alpha }$ هو أيضا جذر.

3. بين أن $2$ جذر لـ $P(x)$.

4. عين $Q(x)$ بحيث $P(x)=(x-2)Q(x)$.

5. استنتج تفكيكا لـ $P(x)$ إلى جداء ثلاثة كثيرات حدود من الدرجة $1$، ثم حل $P(x)=0$ في $\mathbb{R}$.

نعتبر كثير الحدود $P(x)=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2$.

1. تحقق من أن $0$ ليس جذرا لـ $P(x)$ وبيّن أن $2$ جذر.

2. عيّن $Q(x)$ بحيث $P(x)=(x-2)Q(x)$.

3. بيّن أنه إذا كان $a$ جذرا غير معدوم لـ $P(x)$، فإن $\frac{1}{a}$ جذر أيضا؛ استنتج أن $Q\left(\frac{1}{2}\right)=0$.

4. حلل $P(x)$ تحليلا كاملا، ثم حل في $\mathbb{R}$ المعادلتين $P(x)=0$ و $P(|x|)=0$.

لتكن $n$ عددًا طبيعيًا غير معدوم. نعتبر كثير الحدود:

$P(x)=n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1$.

1. أثبت أن $1$ جذر لـ $P(x)$.

2. أثبت أن $P(2)=2^n(n-1)+1$.

3. بملاحظة أن $P(2)$ يُظهر المجموع $S=2+2^2+\cdots +2^n$، حدد قيمة $S$.

لكثير الحدود $P(x)=x^3-6x^2+9x$ الجذور $a$, $b$, $c$. بين أن $a+b+c=6$ و $ab+ac+bc=9$.

حل المعادلة التالية: $3x^2$ + 12x + 12 = 0.

يمتلك فلاح حقلاً مستطيلاً طوله $L(x)=2x+3$ وعرضه $W(x)=x-1$. احسب مساحة الحقل $A(x)$.

تقوم شركة نقل في فاس بنمذجة تكلفة نقل بضاعة بواسطة كثير الحدود $C(x)=5x^2-20x+15$، حيث $x$ هي المسافة المقطوعة بالكيلومترات.

1. حدد المسافة التي تكون عندها تكلفة النقل أدنى.

2. أثبت أن كثير الحدود هذا قابل للتحليل وحدد جذوره.

3. ما هو تغير التكلفة عندما يتغير $x$ من $1$ كلم إلى $4$ كلم؟

يريد فلاح نمذجة مردود حقله بواسطة كثير الحدود $P(x)=-x^2+10x+5$، حيث x هو عدد الشتلات. أوجد العدد الأمثل للشتلات لتحقيق أقصى مردود.

عَمِّلْ كثير الحدود $P(x)=3x^2-12x+12$.

ليكن P(x) = $x^2$ − (m+2)x + 2m، حيث m وسيط حقيقي.

1. أحسب المميز $\Delta$ بدلالة m.
2. حدد قيم m التي من أجلها يكون لـ P جذران حقيقيان مختلفان، أو جذر مزدوج، أو لا يوجد أي جذر حقيقي.
3. أوجد m بحيث تحقق جذور P العلاقة $x_1+x_2=5$.
4. من أجل m = 2، عمل P(x).

1. أنشر $(a+b+c{)}^2$ واستنتج تعبيرا لـ $ab+bc+ca$.
2. عامل $a^3-b^3$ (مع التحقق من أن $a=b$ هو جذر وبإجراء القسمة).
3. تطبيق: عامل $8x^3-27$ و $x^6-1$.
4. بين أنه إذا كان $a+b+c=0$, فإن $a^3+b^3+c^3=3abc$.

نعتبر المعادلة (E) : $x^2$ - 2mx + m + 2 = 0، حيث m وسيط حقيقي.

1. أحسب المميز $\Delta$ بدلالة m.
2. حدد قيم m التي من أجلها تقبل (E) حلين مختلفين.
3. ما هي قيم m التي من أجلها يكون الحلان موجبين قطعا؟

نعتبر المعادلة $(E_m)$ : $(m+1)x^2-2mx+m-2=0$، حيث $m$ وسيط حقيقي.

1. ما هي قيمة $m$ التي تكون من أجلها المعادلة من الدرجة الأولى؟ حل المعادلة في هذه الحالة.
2. من أجل $m\ne -1$، أحسب المميز $\Delta$ بدلالة $m$.
3. حدد قيم $m$ التي تكون من أجلها المعادلة $(E_m)$ لها حلان حقيقيان مختلفان.
4. من أجل $m=2$، حل المعادلة وتحقق من علاقات المعاملات والجذور.