Équations et inéquations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

معادلات من الدرجة الأولى

ax + b = 0 ⇒ x = -b/a (إذا كان a ≠ 0)

معادلات من الدرجة الثانية

انظر فصل كثيرات الحدود للمميز.

متراجحات من الدرجة الأولى

ax + b > 0 : إذا كان a > 0 فإن x > -b/a ؛ إذا كان a < 0 فإن x < -b/a

متراجحات من الدرجة الثانية

لحل ax² + bx + c > 0 (أو <, ≤, ≥) :
1. حساب Δ
2. إيجاد الجذور (إن وجدت)
3. دراسة الإشارة حسب جدول الإشارة

إشارة ax² + bx + c

إذا كان Δ < 0 : نفس إشارة a لكل x
إذا كان Δ = 0 : نفس إشارة a باستثناء x₀ حيث تكون 0
إذا كان Δ > 0 : إشارة a خارج الجذرين، إشارة معاكسة بين الجذرين

نظم المعادلات الخطية

النظم : ax + by = e و cx + dy = f
الطرق : التعويض، التأليف الخطي، Cramer (إذا كان ad - bc ≠ 0)

📈 Figure clé

Signe du trinôme via la parabole

🔑 Formules clés à retenir

طريقة Cramer : x = (ed - bf)/(ad - bc), y = (af - ce)/(ad - bc)
إشارة ax² + bx + c : إشارة a خارج الجذرين

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

إشارة ax² + bx + c : القاعدة الذهبية — إذا كان Δ > 0، فإن ثلاثية الحدود لها إشارة a خارج الجذرين والإشارة المعاكسة بين الجذرين. إذا كان Δ < 0، فإن الإشارة هي إشارة a في كل مكان.

❌

المتراجحة من الدرجة الثانية : لا تخمن، أنشئ الجدول — لا يمكن حل ax² + bx + c > 0 مباشرة. أوجد الجذور، أنشئ جدول الإشارة، ثم اقرأ الحل.

❌

قاعدة Cramer لا تعمل إلا إذا كان ad − bc ≠ 0 — إذا كان المحدد منعدمًا، فإن النظمة إما غير متوافقة أو لها عدد لا نهائي من الحلول.

🟢 نصائح احترافية

✅

مذكرة جدول إشارة ثلاثية الحدود : إذا كان a > 0 و Δ > 0، فإن ثلاثية الحدود سالبة بين x₁ و x₂، وموجبة خارجهما. "ثلاثية الحدود لها إشارة a باستثناء ما بين جذريها."

💡

لحل متراجحة جداء، قم أولاً بالتعميل الكامل، ثم أنشئ جدول إشارة كل عامل على حدة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — المعادلات والمتراجحات

النوع 1: حل معادلة من الدرجة الأولى

متى؟ معادلة من الشكل $a x + b = 0$ أو قابلة للإرجاع إلى $a x = c$ بعد النشر.

انشر واختزل الطرفين.
اجمع الحدود التي تحتوي على $x$ في اليسار، والثوابت في اليمين.
إذا كان $a \neq = 0$ : $x = \frac{c}{a}$ .
حالات خاصة: إذا كان $0 \cdot x = 0$ عدد لانهائي من الحلول؛ إذا كان $0 \cdot x = c \neq = 0$ لا يوجد حل.

مثال سريع: $3 x - 6 = 0 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ ، إذن $S = {2}$ .

النوع 2: حل معادلة من الدرجة الثانية

متى؟ معادلة قابلة للإرجاع إلى $a x^{2} + b x + c = 0$ مع $a \neq = 0$ .

ضع كل شيء في طرف واحد للحصول على $\dots = 0$ .
إذا كانت الصيغة ناقصة: حلل (وضع عامل مشترك أو متطابقة هامة) واستعمل "جداء معدوم".
وإلا احسب $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا كان $Δ > 0$ : $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ؛ إذا كان $Δ = 0$ : $x = \frac{- b}{2 a}$ ؛ إذا كان $Δ < 0$ : $S = \emptyset$ .

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $Δ = 1$ ، $S = {2; 3}$ .

النوع 3: حل متراجحة من الدرجة الأولى

متى؟ متراجحة من الشكل $a x + b \leq 0$ (أو $<$ ، $\geq$ ، $>$ ).

انشر، اختزل، اعزل $x$ كما في المعادلة.
عندما تقسم (أو تضرب) على عدد سالب، اعكس الاتجاه.
اكتب مجموعة الحلول على شكل مجال.
تحقق من اتجاه القوس: مغلق إذا كانت المتراجحة واسعة، مفتوح إذا كانت صارمة.

مثال سريع: $- 2 x + 4 > 0 \Rightarrow - 2 x > - 4 \Rightarrow x < 2$ ، إذن $S =] - \infty; 2 [$ .

النوع 4: حل متراجحة من الدرجة الثانية (جدول الإشارة)

متى؟ متراجحة $a x^{2} + b x + c \leq 0$ (أو اتجاه آخر).

أرجع إلى $\dots ? 0$ ، احسب $Δ$ والجذور.
تذكر القاعدة: ثلاثية الحدود لها إشارة $a$ خارج الجذور، وإشارة $- a$ بينهما.
أنشئ جدول الإشارة.
اختر المجالات المطابقة للإشارة المطلوبة واستنتج $S$ .

مثال سريع: $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ : الجذور $2$ و $3$ ، $S = [2; 3]$ .

النوع 5: حل جملة معادلتين

متى؟ معادلتان من الدرجة الأولى بمجهولين $x$ و $y$ .

طريقة التعويض: اعزل مجهولاً في معادلة، عوضه في الأخرى.
أو طريقة التركيب: اضرب المعادلات لحذف مجهول بالجمع.
حل المعادلة بمجهول واحد المحصل عليها.
عوض لإيجاد المجهول الآخر؛ اكتب الثنائي الحل $(x; y)$ .

مثال سريع: ${x + y = 5; x - y = 1}$ : الجمع يعطي $2 x = 6$ ، $x = 3$ ، $y = 2$ ، إذن $S = {(3; 2)}$ .

النوع 6: حل معادلة/متراجحة بقيمة مطلقة

متى؟ وجود $∣ A (x) ∣ = k$ ، $∣ A (x) ∣ \leq k$ أو $∣ A (x) ∣ \geq k$ .

$∣ A ∣ = k$ (مع $k \geq 0$ ): يكافئ $A = k$ أو $A = - k$ .
$∣ A ∣ \leq k$ : يكافئ $- k \leq A \leq k$ .
$∣ A ∣ \geq k$ : يكافئ $A \leq - k$ أو $A \geq k$ .
إذا كان $k < 0$ : لا يوجد حل لـ $=$ أو $\leq$ ؛ صحيح دائماً لـ $\geq$ .
حل كل حالة واجمع الحلول.

مثال سريع: $∣2 x - 1∣ = 3 \Rightarrow 2 x - 1 = 3$ أو $2 x - 1 = - 3$ ، إذن $S = {2; - 1}$ .

النوع 7: حل معادلة جذرية

متى؟ المجهول تحت جذر: $A (x) = B (x)$ .

ضع شروط الوجود: $A (x) \geq 0$ .
للتربيع، افرض أيضاً $B (x) \geq 0$ (المربع/الجذر $\geq 0$ ).
ربّع الطرفين: $A (x) = (B (x))^{2}$ .
حل المعادلة المحصل عليها، ثم تحقق من كل حل في الشروط.
ارفض الحلول التي لا تحترم الشروط.

مثال سريع: $x + 1 = 2$ : الشروط $x \geq - 1$ ، نربّع: $x + 1 = 4$ ، $x = 3$ (مقبول)، $S = {3}$ .

النوع 8: الحل بجدول الإشارة (جداء/خارج قسمة)

متى؟ متراجحة من نوع جداء $\geq 0$ أو خارج قسمة $\frac{A}{B} \leq 0$ .

أرجع إلى مقارنة بـ $0$ (طرف واحد، محلل).
أوجد القيم التي تلغي كل عامل (والتي تلغي المقام: قيم ممنوعة).
أنشئ جدول إشارة كل عامل، ثم الجداء/خارج القسمة (قاعدة الإشارات).
اقرأ المجالات ذات الإشارة المطلوبة؛ استثنِ دائماً القيم الممنوعة للمقام.

مثال سريع: $\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ : $S =] - \infty; - 2 [\cup [1; + \infty [$ ( $- 2$ مستثنى، $1$ مدرج).

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

64 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 64 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Équations du premier degré

Facile

Énoncé

حل في $R$ المعادلات التالية:

$- 5 x + 3 = - 3 x + 2$
$3 (x + 4) = - (x + 5) + 2$

Ma réponse

Équations et inéquations

Équations et inéquations — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

معادلات من الدرجة الأولى

معادلات من الدرجة الثانية

متراجحات من الدرجة الأولى

متراجحات من الدرجة الثانية

إشارة ax² + bx + c

نظم المعادلات الخطية

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — المعادلات والمتراجحات

النوع 1: حل معادلة من الدرجة الأولى

النوع 2: حل معادلة من الدرجة الثانية

النوع 3: حل متراجحة من الدرجة الأولى

النوع 4: حل متراجحة من الدرجة الثانية (جدول الإشارة)

النوع 5: حل جملة معادلتين

النوع 6: حل معادلة/متراجحة بقيمة مطلقة

النوع 7: حل معادلة جذرية

النوع 8: الحل بجدول الإشارة (جداء/خارج قسمة)

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équations du premier degré

حل في R المعادلات التالية:

Équations-produits

حل في R المعادلات التالية:

Équations du type carré

حل في R المعادلات التالية:

Équation linéaire à deux inconnues

Système par substitution

حل بطريقة التعويض الجملة:

معادلة من خطوتين

حل معادلة بسيطة

معادلة بحد سالب

معادلة بكسر

معادلة من خطوتين

متراجحة بمعامل سالب

معادلة تتضمن كسورا

مسألة تتضمن متراجحة

معادلة بمجهول واحد

معادلة تتضمن كسرًا

معادلة بمجهول واحد

معادلة من خطوتين

متراجحة وحيدة الحل

نظمات خطية

نظم 2×2 بالتعويض وكرايمر

متراجحة بالقيمة المطلقة (1)

متراجحة جداء – إشارة جداء

معادلة بقيمة مطلقة: حالتان

Exercices Intermédiaires

Équations avec quotients

حل في R المعادلات التالية:

Inéquation-produit

حل في R المتراجحة:

Équations avec valeur absolue

حل في R المعادلات التالية:

Inéquations avec valeur absolue

حل في R المتراجحات التالية:

Équations du second degré (discriminant)

حل في R المعادلات التالية:

Factorisation de trinômes

تحليل كثيرات الحدود الثلاثية التالية:

Fonction du second degré et forme factorisée

Inéquations du second degré

Système par combinaison linéaire

حل بطريقة التوليفات الخطية النظام التالي:

نظمات المعادلات الخطية

متراجحة تتضمن تعبيرًا سالبًا

نظمات المعادلات الخطية

نظم المعادلات

متراجحة من الدرجة الثانية

معادلة من الدرجة الثانية

متراجحة بمجهول واحد

متراجحة بدلالة بارامتر

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المتراجحة:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المتراجحات التالية:

حل في $R$ المعادلات التالية:

حل في $R$ المعادلة:

حل في $R$ المتراجحة:

ناقش، حسب قيم المعامل الحقيقي $m$ ، حلول المعادلة:

حل في $R^{2}$ الجملة: