ليكن $x$ و $y$ عددان حقيقيان موجبان قطعاً. في كل حالة من الحالات، قارن العددين $a$ و $b$.

1. $a=\frac{x+y}{2}$ و $b=\sqrt{xy}$

2. $a=1-\frac{x}{y}$ و $b=\frac{y}{x}-1$

3. $a=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ و $b=\frac{1}{2x}$

لتكن $x$ و $y$ و $z$ ثلاثة أعداد حقيقية موجبة قطعاً.

1. بيّن أن $x+y\ge 2\sqrt{xy}$.

2. استنتج أن $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$.

3. بيّن أن $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$.

ليكن $x$ و $y$ عددين حقيقيين بحيث $x\in [-2;-1]$ و $y\in [2;5]$.

1. حصر $2x+3y+7$ ثم $2x-3y$.

2. حصر $xy$، $\frac{x}{y}$، $x^2+y^2$ و $\sqrt{x+y}$.

1. اكتب بدون قيمة مطلقة: $\left|3-\sqrt{2}\right|$، $\left|\sqrt{3}-2\right|$ و $\left|-1-\sqrt{5}\right|$.

2. حل في $\mathbb{R}$: $(E_1):\left|2x+8\right|=2$ و $(E_2):\left|2x-8\right|=\left|3x-6\right|$.

3. حل في $\mathbb{R}$: $(I_1):\left|2x-8\right|<2$ و $(I_2):\left|-3x+6\right|\ge 2$.

1. قارن بين $2\sqrt{7}$ و $3\sqrt{3}$.

2. انشر ${\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{7}\right)}^2$.

3. نضع $A=\sqrt{55-12\sqrt{21}}$. بسّط $A$.

4. علماً أن $1,7<\sqrt{3}<1,8$ و $2,6<\sqrt{7}<2,7$، أعط حصراً لـ $A$.

1. ليكن $a$ قيمة مقربة بالنقصان لـ $\frac{1}{5}$ بسعة $\frac{1}{2}$. بين أن $-\frac{3}{10}<a\le \frac{1}{5}$.

2. ليكن $b$ قيمة مقربة بالزيادة لـ $\frac{1}{3}$ بدقة $0,1$. بين أن $\frac{1}{3}\le b<\frac{13}{30}$.

إذا كان a = 2 و b = 3، احسب a + b وبين أن a + b أكبر من 4.

نعتبر المجموعة A = {2, 3, 5}. ما هو الحد الأعلى (sup A) لهذه المجموعة؟

إذا كان 1 $\le$ x $\le$ 3 و 2 $\le$ y $\le$ 4، فحدد تأطيرًا لـ x + y.

لدى فاطمة ميزانية قدرها 1000 درهم لشراء الكتب. تريد شراء 5 كتب بثمن 150 درهماً للكتاب الواحد. هل ميزانيتها كافية؟

يخطط مقاول لتحقيق إيرادات قدرها 2000 درهم لشهر شتنبر و 2500 درهم لشهر أكتوبر. إذا كانت مصاريفه في شتنبر هي 1500 درهم وفي أكتوبر 1800 درهم، بيّن أن أرباحه في أكتوبر أكبر.

في مسابقة، طول محمد هو 1.75 m وطول يوسف هو 1.80 m. بين أن طول محمد أصغر من أو يساوي طول يوسف.

يقطع قطار $120$ كم في $2$ ساعة وتقطع سيارة $150$ كم في $2$ ساعة. أثبت أن سرعة القطار أقل من سرعة السيارة.

إذا كان a = 4 و b = 6، فبين أن a $\times$ 2 $\le$ b $\times$ 2 وأنه إذا كان c = -1، فإن a $\times$ c $\ge$ b $\times$ c.

ليكن x عددًا بحيث 3 $\le$ x $\le$ 5 و y عددًا بحيث 2 $\le$ y $\le$ 4. بين أن 3 + 2 $\le$ x + y $\le$ 5 + 4.

نعتبر المجموعة A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. بين أن 5 هو عنصر ما فوقي (عنصر أعلى) و 1 هو عنصر ما تحتي (عنصر أدنى) للمجموعة A.

نعتبر المجموعة A = {3, 5, 7}. أوجد عنصرا أعلى وعنصرا أدنى للمجموعة A.

للمجموعة A = {2, 4, 6, 8}، حدد العظمى.

ليكن a = 1 و b = 5 و x = 3 و y = 4. تحقق مما إذا كان a + y $\le$ x + b $\le$ b + y.

ليكن a = 2 و b = 3. إذا كان c = -1، تحقق مما إذا كان a $\times$ c $\ge$ b $\times$ c.

1. نعلم أن $-1\le a\le 2$ و $1\le b\le 4$. أطر $a+b$ و $a-b$ و $a\times b$ و $a/b$.
2. أوجد تأطيرا لـ $\sqrt{x+1}$ علما أن $3\le x\le 8$.
3. بين أن لكل عدد حقيقي $x$، لدينا $x^2-2x+3>0$.

نعتبر 1 $\le$ x $\le$ 3 و −2 $\le$ y $\le$ 1.

1. أطر x + y.
2. أطر x − y.
3. أطر xy.
4. هل يمكن تأطير x/y ؟ علل جوابك.

حل في $\mathbb{R}$ :

1. $|x-3|<|x+1|$
2. $|2x+1|\ge 3$
3. $1\le |x-2|\le 5$

حل ثم مثل على مستقيم:

1. 3x - 1 $\le$ 2x + 5
2. (x - 2)(x + 3) > 0
3. (2x - 1)/(x + 2) $\le$ 0

1) إذا كان $2<x<3$ و $1<y<2$، فأطر ما يلي :

• $x+y$
• $x-y$
• $x\times y$
• $x^2$

2) حل المتراجحة : $|x-3|\le 2$

3) بين أنه إذا كان $0<a<b$، فإن $a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b$

1. أُحصر $\sqrt{7}$ بين عددين صحيحين متتابعين، ثم أوجد قيمة مقربة له بدقة 0,1.
2. نعلم أن $1\le x\le 4$. أُحصر $\sqrt{x}$، ثم أُحصر $2\sqrt{x}-1$.
3. قارن بين $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ و $\sqrt{5+3}=\sqrt{8}$. أيهما أكبر؟

حل في $\mathbb{R}$ :

1. |x − 4| = 3
2. |2x + 1| < 5
3. |x − 2| + |x + 1| = 5