Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريفات الجداء السلمي

ليكن $u$ و $v$ متجهتين في المستوى. الجداء السلمي للمتجهتين $u$ و $v$ ، ويرمز له بـ $u \cdot v$ ، هو العدد الحقيقي المعرف، حسب السياق، بأحد التعبيرات المتكافئة التالية:

التعريف الهندسي: $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v)$ .
بالإسقاط: إذا كان $u = A B$ و $v = A C$ ، و H المسقط العمودي لـ C على (AB)، فإن $u \cdot v = \overline{A B} \cdot \overline{A H}$ (جداء القياسات الجبرية).
بواسطة المعايير: $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2})$ .
في معلم متعامد ممنظم: إذا كان $u (x, y)$ و $v (x^{'}, y^{'})$ ، فإن $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .

حالات خاصة:

$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ (يسمى المربع السلمي، ويرمز له بـ $u^{2}$ ).
إذا كان $u = 0$ أو $v = 0$ : $u \cdot v = 0$ .

II. الخاصيات الجبرية

لكل المتجهات $u, v, w$ ولكل عدد حقيقي $k$ :

التماثل: $u \cdot v = v \cdot u$ .
الخطية الثنائية: $(k \cdot u) \cdot v = k \cdot (u \cdot v)$ ؛ $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ .
المتطابقات الهامة:
- $(u + v)^{2} = u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2}$
- $(u - v)^{2} = u^{2} - 2 \cdot u \cdot v + v^{2}$
- $(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}$

III. التعامد

تكون متجهتان غير منعدمتين $u$ و $v$ متعامدتين إذا وفقط إذا كان $u \cdot v = 0$ .

حسب الاصطلاح، المتجهة المنعدمة متعامدة مع أي متجهة.

لإظهار أن (AB) ⊥ (CD) : يكفي إظهار أن $A B \cdot C D = 0$ (باستخدام الإحداثيات أو صيغة مناسبة).

IV. تطبيقات هندسية

مبرهنة المتوسط: ليكن I منتصف [BC]. لأي نقطة A :

$A B^{2} + A C^{2} = 2 \cdot A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2}$

مبرهنة الكاشي (قانون جيوب التمام): في مثلث ABC، مع تسمية $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (\hat{A})$

حالة خاصة ( $\hat{A} = 90°$ ) : مبرهنة فيتاغورس $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

صيغة المساحة: في مثلث ABC،

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin (\hat{A})$

V. المعادلة الديكارتية لمستقيم بواسطة متجهة منظمية

في معلم متعامد ممنظم، مستقيم (D) يمر من $A (x_{0}, y_{0})$ ومتجهته المنظمية $n (a, b)$ معادلته هي :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$

أي $a x + b y + c = 0$ ، حيث $c = - (a x_{0} + b y_{0})$ .

VI. مسافة نقطة عن مستقيم

مسافة النقطة $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ عن المستقيم (D) : $a x + b y + c = 0$ هي :

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

VII. المعادلة الديكارتية لدائرة

الدائرة التي مركزها $Ω (a, b)$ وشعاعها $R$ معادلتها هي :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

مكافئ لـ : $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + (a^{2} + b^{2} - R^{2}) = 0$ .

التعرف على معادلة دائرة: اكتبها على الشكل $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ ، ثم أكمل المربعات للحصول على $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ . تكون دائرة إذا وفقط إذا كان $R^{2} > 0$ .

دائرة قطرها [AB] : مجموعة النقط M بحيث $M A \cdot M B = 0$ هي الدائرة التي قطرها [AB] (مبرهنة الدائرة التي ترى بزاوية قائمة).

📈 Figure clé

u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ

🔑 Formules clés à retenir

$u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v) = x x^{'} + y y^{'}$
$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$
$(u + v)^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2}$
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (\hat{A})$
المساحة = $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin (\hat{A})$
المتوسط : $A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2}$
$d (M, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$
الدائرة : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
القطر [AB] : $M A \cdot M B = 0$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

$u \cdot v$ هو عدد حقيقي (scalaire)، وليس متجهة — الجداء السلمي يعطي عدداً، وليس متجهة. لا تكتب $u \cdot v$ بسهم.

❌

مبرهنة الكاشي: حدد جيداً a, b, c والزاوية المقابلة — $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (\hat{A})$ . الضلع a يقابل الزاوية $\hat{A}$ . لا تضع الزاوية الخاطئة.

❌

$u \cdot v = 0 \Leftrightarrow u ⊥ v$ فقط إذا كان $u \neq = 0$ و $v \neq = 0$ — المتجهة المنعدمة عمودية على أي متجهة بالاصطلاح، ولكن يجب استبعاد هذه الحالة في البراهين.

🟢 نصائح احترافية

✅

حساب الزاوية بين متجهتين: $cos (angle) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥}$ . احسب الجداء السلمي بالإحداثيات ( $x x^{'} + y y^{'}$ )، ثم اقسم على المعيارين.

💡

تختزل مبرهنة الكاشي إلى مبرهنة فيتاغورس عندما تكون الزاوية $90°$ : $cos (90°) = 0$ وبالتالي $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . استخدم مبرهنة الكاشي عندما لا تكون لديك زاوية قائمة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الجداء السلمي في المستوى

النوع 1 : حساب جداء سلمي

متى ؟ يُعطى لك شعاعان ويُطلب $u \cdot v$ ، أو $A B \cdot A C$ .

إذا كنت تعرف الإحداثيات في معلم متعامد ومتجانس : $u (x; y)$ و $v (x^{'}; y^{'})$ ، طبّق $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
إذا كنت تعرف المعيارين والزاوية : طبّق $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ$ .
إذا كان بإمكانك الإسقاط : $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ حيث $H$ هو مسقط $C$ على $(A B)$ ، أي $\pm A B \times A H$ .
أعط النتيجة (عدد حقيقي، وليس شعاعاً).

مثال سريع : $u (2; 3)$ ، $v (1; - 1)$ يعطيان $u \cdot v = 2 \times 1 + 3 \times (- 1) = - 1$ .

النوع 2 : إثبات أن شعاعين (أو مستقيمين) متعامدان

متى ؟ يُطلب إثبات أن $u ⊥ v$ ، أن مستقيمين متعامدان، أو أن مثلثاً قائم الزاوية.

اختر شعاعين موجهين للعنصرين المعنيين (مثلاً $A B$ و $A C$ للزاوية في $A$ ).
احسب جداءهما السلمي بصيغة الإحداثيات $x x^{'} + y y^{'}$ .
استنتج : إذا كان $u \cdot v = 0$ فإن $u ⊥ v$ (إذن مستقيمان متعامدان / مثلث قائم الزاوية).

مثال سريع : $A B (2; 1)$ و $A C (- 1; 2)$ : $2 \times (- 1) + 1 \times 2 = 0$ ، إذن المثلث قائم الزاوية في $A$ .

النوع 3 : حساب معيار أو مسافة

متى ؟ يُطلب $∥ u ∥$ ، الطول $A B$ ، أو محيط شكل هندسي.

أوجد إحداثيات الشعاع : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
طبّق $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ ، أي $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
بسّط الجذر إن أمكن واحتفظ بالقيمة المضبوطة.

مثال سريع : $A (1; 2)$ ، $B (4; 6)$ : $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

النوع 4 : حساب زاوية ( $cos$ زاوية)

متى ؟ يُطلب قياس زاوية مثلث أو $cos θ$ بين شعاعين.

احسب $u \cdot v$ بالإحداثيات.
احسب المعيارين $∥ u ∥$ و $∥ v ∥$ .
اعزل جيب التمام : $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$ .
استنتج $θ$ بالآلة الحاسبة ( $θ = arccos$ ) إذا طُلب القياس.

مثال سريع : إذا كان $u \cdot v = 3$ ، $∥ u ∥ = 2$ ، $∥ v ∥ = 3$ فإن $cos θ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ، إذن $θ = 6 0^{\circ}$ .

النوع 5 : استعمال متطابقات الاستقطاب والخوارزمي

متى ؟ تُعرف أطوال أضلاع مثلث ونبحث عن جداء سلمي أو زاوية دون معلم.

للحصول على جداء سلمي انطلاقاً من الأطوال، استعمل $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ .
لحساب زاوية، استعمل صيغة الخوارزمي : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \times A C \times cos A$ .
عوّض الأطوال المعروفة، ثم اعزل المجهول المطلوب.

مثال سريع : $A B = 3$ ، $A C = 4$ ، $B C = 5$ : $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (9 + 16 - 25) = 0$ ، المثلث قائم الزاوية في $A$ .

النوع 6 : تحديد معادلة مستقيم أو دائرة

متى ؟ نبحث عن معادلة مستقيم عمودي على شعاع، ارتفاع، محور تماثل أو دائرة.

خذ نقطة $M (x; y)$ متحركة على الشكل المطلوب.
ترجم الشرط الهندسي بجداء سلمي : لمستقيم ذي شعاع ناظم $n$ يمر بـ $A$ ، اكتب $A M \cdot n = 0$ .
لدائرة مركزها $Ω$ ونصف قطرها $r$ ، اكتب $∥ Ω M ∥^{2} = r^{2}$ ، أي $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
انشر ورتّب للحصول على المعادلة النهائية.

مثال سريع : مستقيم يمر بـ $A (1; 0)$ وشعاعه الناظم $n (2; 3)$ : $2 (x - 1) + 3 y = 0$ ، أي $2 x + 3 y - 2 = 0$ .

النوع 7 : إيجاد مجموعة النقط $M$ التي تحقق علاقة شعاعية

متى ؟ يُطلب مجموعة النقط $M$ بحيث $M A \cdot M B = k$ أو $M A \cdot M B = 0$ .

أدخل $I$ منتصف $[A B]$ وحلّل : $M A = M I + I A$ و $M B = M I + I B$ .
بما أن $I A = - I B$ ، انشر : $M A \cdot M B = M I^{2} - I A^{2}$ .
حل المعادلة المحصل عليها في $M I^{2}$ للتعرف على دائرة (إذا كان $M I^{2} =$ ثابت موجب) أو نقطة.

مثال سريع : $M A \cdot M B = 0$ يعطي $M I^{2} = I A^{2}$ ، إذن دائرة قطرها $[A B]$ .

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

59 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 59 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

Produits scalaires dans un carré

Facile

Énoncé

نعتبر مربعاً $A B C D$ طول ضلعه $c$ .

احسب، بدلالة $c$ ، الجداءات السلمية التالية:

$A B \cdot A C$
$A B \cdot A D$
$A D \cdot C B$

Ma réponse

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريفات الجداء السلمي

II. الخاصيات الجبرية

III. التعامد

IV. تطبيقات هندسية

V. المعادلة الديكارتية لمستقيم بواسطة متجهة منظمية

VI. مسافة نقطة عن مستقيم

VII. المعادلة الديكارتية لدائرة

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الجداء السلمي في المستوى

النوع 1 : حساب جداء سلمي

النوع 2 : إثبات أن شعاعين (أو مستقيمين) متعامدان

النوع 3 : حساب معيار أو مسافة

النوع 4 : حساب زاوية (cos زاوية)

النوع 5 : استعمال متطابقات الاستقطاب والخوارزمي

النوع 6 : تحديد معادلة مستقيم أو دائرة

النوع 7 : إيجاد مجموعة النقط M التي تحقق علاقة شعاعية

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Produits scalaires dans un carré

Produit scalaire dans un triangle équilatéral

Produit scalaire à partir des longueurs d'un triangle

الجداء السلمي لمتجهتين

الجداء السلمي والمعيار

خاصيات الجداء السلمي

الجداء السلمي والمعيار

الجداء السلمي والزوايا

الجداء السلمي والمنظم

الجداء السلمي والمعيار

الجداء السلمي لمتجهتين مستقيميتين

إسقاط متجهة

الجداء السلمي لمتجهتين منعدمتين

تعامد المتجهات

حساب مباشر بالإحداثيات

حساب مع زاوية

التعامد – تحديد بارامتر

معادلة مستقيم بمتجهة منظمية

Exercices Intermédiaires

Norme, orthogonalité et combinaisons de vecteurs

Angle, produit scalaire et orthogonalité de droites

Théorème de la médiane et angle au milieu

Mesure d'angle, longueur et médiane

Produit scalaire et projeté orthogonal

الجداء السلمي والزاوية بين متجهتين

حساب الجداء السلمي مع السلالم

تكافؤ الجداءات السلمية

الجداء السلمي والمسافة بين نقطتين

الإسقاط العمودي

حساب الجداء السلمي

خاصية ثنائية الخطية للجداء السلمي

برهان التماثل

برهان الخطية الثنائية

حساب الجداء السلمي بزاوية

إسقاط متجهة

برهن خاصية

حساب الجداء السلمي بمعاملات

الزاوية بين متجهتين

الإسقاط المتعامد و أساس متعامد ممنظم

الجداء السلمي ومبرهنة الكاشي

مبرهنة الكاشي

مسافة نقطة عن مستقيم

معادلة دائرة وتحديدها

مبرهنة المتوسط

Exercices Difficiles

Trois identités fondamentales avec le milieu

Ensembles de points et lignes de niveau

تبيان ثنائية الخطية

تطبيقات الجداء السلمي

خاصيات الجداء السلمي

برهان التماثل

حساب الجداء السلمي بمعاملات

النوع 4 : حساب زاوية ( $cos$ زاوية)

النوع 7 : إيجاد مجموعة النقط $M$ التي تحقق علاقة شعاعية