نص التمرين ليكن a , b ∈ Z أوليان فيما بينهما. نضع c = a 4 + b 4 . a) ليكن x ∈ Z . بيّن أنه إذا كان x زوجيًا فإن x 4 ≡ 0 [ 16 ] ، وأنه إذا كان x فرديًا فإن x 4 ≡ 1 [ 16 ] . معطى: ( X + 1 ) 4 = X 4 + 4 X 3 + 6 X 2 + 4 X + 1 . b) استنتج أن c ≡ 1 [ 16 ] أو c ≡ 2 [ 16 ] . ليكن p عددًا أوليًا بحيث p ∣ c و p > 2 . a) بيّن أن a ∧ p = 1 . b) بيّن أنه يوجد k ∈ Z بحيث k a ≡ 1 [ p ] . c) استنتج أنه يوجد q ∈ Z بحيث q 4 + 1 ≡ 0 [ p ] .

Somme de puissances quatrièmes et nombres premiers

Difficile

ليكن $a, b \in Z$ أوليان فيما بينهما. نضع $c = a^{4} + b^{4}$ .

a) ليكن $x \in Z$ . بيّن أنه إذا كان $x$ زوجيًا فإن $x^{4} \equiv 0 [16]$ ، وأنه إذا كان $x$ فرديًا فإن $x^{4} \equiv 1 [16]$ . معطى: $(X + 1)^{4} = X^{4} + 4 X^{3} + 6 X^{2} + 4 X + 1$ .
b) استنتج أن $c \equiv 1 [16]$ أو $c \equiv 2 [16]$ .
ليكن $p$ عددًا أوليًا بحيث $p ∣ c$ و $p > 2$ .
a) بيّن أن $a \land p = 1$ .
b) بيّن أنه يوجد $k \in Z$ بحيث $k a \equiv 1 [p]$ .
c) استنتج أنه يوجد $q \in Z$ بحيث $q^{4} + 1 \equiv 0 [p]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

السؤال 1أ: طوّر $(2k+1)^4$ باستعمال الصيغة المعطاة واجمع الحدود المضاعفة لـ16.

2 الإرشاد 2

السؤال 1ب: استعمل كون $a$ و $b$ لا يمكن أن يكونا زوجيين معاً (لأنهما أوليان فيما بينهما) لتمييز الحالات.

3 الإرشاد 3

السؤال 2: استعمل تعريف القاسم المشترك الأكبر ومبرهنة بيزو لإيجاد $k$ بحيث $ka \equiv 1\,[p]$، ثم اضرب العلاقة $c\equiv 0\,[p]$ في $k^4$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

السؤال 1أ: طوّر $(2 k + 1)^{4}$ باستعمال الصيغة المعطاة واجمع الحدود المضاعفة لـ16.

السؤال 1ب: استعمل كون $a$ و $b$ لا يمكن أن يكونا زوجيين معاً (لأنهما أوليان فيما بينهما) لتمييز الحالات.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points