Fonction auxiliaire et dérivabilité en 0

دالة مساعدة ودراسة

A) لتكن $g$ معرفة على $[0;+\infty [$ بـ $g(x)=6x-8x\sqrt{x}-\frac{1}{2}$.

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.
2. احسب $g^{\prime }(x)$ من أجل $x\in ]0;+\infty [$ وأنشئ جدول تغيرات $g$.
3. بيّن أنه من أجل كل $x\in [0;+\infty [$، $g(x)\le 0$.

B) لتكن $f$ معرفة على $[0;+\infty [$ بـ $f(x)=(4x-1)\sqrt{x}-4x^2+1$.

1. ادرس قابلية اشتقاق $f$ على يمين $0$ وفسّر هندسياً.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ ثم فسّر.
3. a. بيّن أنه من أجل كل $x\in ]0;+\infty [$، $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{\sqrt{x}}$. b. أنشئ جدول تغيرات $f$.
4. احسب $f(1)$.