Fonction f ( x ) = x 2 + x 1 − x 2 + x Soit f définie par f ( x ) = x 2 + x 1 − x 2 + x . Déterminer D f et calculer x → + ∞ lim f ( x ) . Calculer x → 0 + lim f ( x ) et interpréter géométriquement. Montrer que la droite ( Δ ) : x = − 2 1 est un axe de symétrie de ( C f ) et en déduire D E . Étudier la branche infinie de ( C f ) au voisinage de + ∞ . Résoudre dans ] 0 ; + ∞ [ l'équation f ( x ) = 0 .

Fonction irrationnelle avec axe de symétrie

Difficile

Soit $f$ définie par $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + x} - x^{2} + x$ .

Déterminer $D_{f}$ et calculer $x \to + \infty lim f (x)$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et interpréter géométriquement.
Montrer que la droite $(Δ) : x = - \frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(C_{f})$ et en déduire $D_{E}$ .
Étudier la branche infinie de $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ .
Résoudre dans $] 0; + \infty [$ l'équation $f (x) = 0$ .

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1 Indice 1

Pour le domaine, il faut que $x^2+x>0$ (dénominateur et racine carrée) : factorise $x(x+1)$ et étudie son signe.

2 Indice 2

Pour la symétrie, remplace $x$ par $-1-x$ dans $f$ et vérifie que $(-1-x)^2+(-1-x) = x^2+x$.

3 Indice 3

Pour la branche infinie, étudie $\\dfrac{f(x)}{x}$ puis $f(x)+x$ quand $x\\to+\\infty$, en utilisant la quantité conjuguée pour $\\sqrt{x^2+x}-x$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour le domaine, il faut que $x^{2} + x > 0$ (dénominateur et racine carrée) : factorise $x (x + 1)$ et étudie son signe.

Pour la symétrie, remplace $x$ par $- 1 - x$ dans $f$ et vérifie que $(- 1 - x)^{2} + (- 1 - x) = x^{2} + x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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