Énoncé Soit f définie par f ( x ) = x − x − 2 1 . Vérifier que D f = ] 2 , + ∞ [ . Calculer x → 2 + lim f ( x ) et l'interpréter géométriquement. Calculer x → + ∞ lim f ( x ) puis montrer que la droite ( Δ ) : y = x est une asymptote oblique à ( C f ) en + ∞ , et déterminer la position relative de ( C f ) et ( Δ ) . Montrer que pour tout x ∈ ] 2 , + ∞ [ : f ′ ( x ) = 1 + 2 ( x − 2 ) 3 1 , puis dresser le tableau de variations de f . Calculer f ( 3 ) .

Fonction avec radical au dénominateur

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f$ définie par $f (x) = x - \frac{1}{x - 2}$ .

Vérifier que $D_{f} =] 2, + \infty [$ .
Calculer $x \to 2^{+} lim f (x)$ et l'interpréter géométriquement. Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ puis montrer que la droite $(Δ) : y = x$ est une asymptote oblique à $(C_{f})$ en $+ \infty$ , et déterminer la position relative de $(C_{f})$ et $(Δ)$ .
Montrer que pour tout $x \in] 2, + \infty [$ : $f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{2 ( x - 2 ) ^{3}}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f (3)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver le domaine, demande-toi d'abord quand $\sqrt{x-2}$ existe (racine carrée définie), puis quand tu peux diviser par cette racine (dénominateur non nul). Quelle condition sur $x$ réunit ces deux contraintes ?

2 Indice 2

Pour la limite en $2^+$, observe ce qui arrive à $\sqrt{x-2}$ quand $x$ s'approche de $2$ par valeurs supérieures : cette racine devient très petite, donc $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ devient très grand. Quel signe a $f(x)$ alors ?

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Pour trouver le domaine, demande-toi d'abord quand $x - 2$ existe (racine carrée définie), puis quand tu peux diviser par cette racine (dénominateur non nul). Quelle condition sur $x$ réunit ces deux contraintes ?

Pour la limite en $2^{+}$ , observe ce qui arrive à $x - 2$ quand $x$ s'approche de $2$ par valeurs supérieures : cette racine devient très petite, donc $\frac{1}{x - 2}$ devient très grand. Quel signe a $f (x)$ alors ?

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