Fonction définie par morceaux avec radical

Énoncé

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x^3-1}{x^3+1}$ si $x\ge 1$, et $f(x)=x-1+2\sqrt{1-x}$ si $x<1$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et l'interpréter géométriquement.

2. Étudier la branche infinie de $(C_f)$ en $-\infty$.

3. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche de $1$ et montrer que pour tout $x\in ]-\infty ,1[$ : $f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x}(1+\sqrt{1-x})}$.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

5. Résoudre l'équation $f(x)=0$ pour $x\in ]-\infty ,1[$ et interpréter.