Fonction par morceaux Soit f définie sur R par : f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1 si x ≥ 1 , f ( x ) = x − 1 + 2 1 − x si x < 1 Calculer x → + ∞ lim f ( x ) et interpréter géométriquement. a. Montrer que x → − ∞ lim f ( x ) = − ∞ . b. Étudier la branche infinie de ( C f ) au voisinage de − ∞ . a. Étudier la dérivabilité de f à droite de 1 et interpréter. b. Étudier la dérivabilité de f à gauche de 1 et interpréter. b. Montrer que pour tout x ∈ ] − ∞ ; 1 [ : f ′ ( x ) = 1 − x ( 1 + 1 − x ) − x . Résoudre l'équation f ( x ) = 0 pour x ∈ ] − ∞ ; 1 [ et interpréter géométriquement.

Fonction définie par morceaux avec racine carrée

Difficile

Soit $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = \frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + 1} si x \geq 1, f (x) = x - 1 + 2 1 - x si x < 1$

Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et interpréter géométriquement.
a. Montrer que $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ . b. Étudier la branche infinie de $(C_{f})$ au voisinage de $- \infty$ .
a. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $1$ et interpréter. b. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche de $1$ et interpréter.
b. Montrer que pour tout $x \in] - \infty; 1 [$ : $f^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ( 1 + 1 - x )}$ .
Résoudre l'équation $f (x) = 0$ pour $x \in] - \infty; 1 [$ et interpréter géométriquement.

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1 Indice 1

Pour la limite en $+\infty$, factorise par le terme de plus haut degré dans $\dfrac{x^3-1}{x^3+1}$.

2 Indice 2

Pour la limite en $-\infty$, pose $t=\sqrt{1-x}$ (qui tend vers $+\infty$) pour transformer $f(x)=x-1+2\sqrt{1-x}$ en une expression en $t$.

3 Indice 3

Pour la dérivabilité en $1$, calcule séparément les taux d'accroissement à droite (avec la forme rationnelle) et à gauche (avec la racine carrée).

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la limite en $+ \infty$ , factorise par le terme de plus haut degré dans $\frac{x ^{3} - 1}{x ^{3} + 1}$ .

Pour la limite en $- \infty$ , pose $t = 1 - x$ (qui tend vers $+ \infty$ ) pour transformer $f (x) = x - 1 + 2 1 - x$ en une expression en $t$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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