Fonction auxiliaire et dérivabilité en 0

Fonction auxiliaire et étude

A) Soit $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)=6x-8x\sqrt{x}-\frac{1}{2}$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.
2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $x\in ]0;+\infty [$ et dresser le tableau de variations de $g$.
3. Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty [$, $g(x)\le 0$.

B) Soit $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=(4x-1)\sqrt{x}-4x^2+1$.

1. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$ et interpréter géométriquement.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ puis interpréter.
3. a. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{\sqrt{x}}$. b. Dresser le tableau de variations de $f$.
4. Calculer $f(1)$.