Énoncé A. Soit g définie sur [ 0 , + ∞ [ par g ( x ) = 6 x − 8 x x − 2 1 . Calculer g ′ ( x ) pour x ∈ ] 0 , + ∞ [ et dresser le tableau de variations de g . Montrer que pour tout x ∈ [ 0 , + ∞ [ , g ( x ) ≤ 0 . B. Soit f définie sur [ 0 , + ∞ [ par f ( x ) = ( 4 x − 1 ) x − 4 x 2 + 1 . Étudier la dérivabilité de f à droite de 0 et l'interpréter géométriquement. Calculer x → + ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim x f ( x ) , puis interpréter. Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ , f ′ ( x ) = x g ( x ) et dresser le tableau de variations de f . Calculer f ( 1 ) .

Fonction auxiliaire et étude avec racine carrée

Difficile

A. Soit $g$ définie sur $[0, + \infty [$ par $g (x) = 6 x - 8 x x - \frac{1}{2}$ .

Calculer $g^{'} (x)$ pour $x \in] 0, + \infty [$ et dresser le tableau de variations de $g$ .
Montrer que pour tout $x \in [0, + \infty [$ , $g (x) \leq 0$ .

B. Soit $f$ définie sur $[0, + \infty [$ par $f (x) = (4 x - 1) x - 4 x^{2} + 1$ .

Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$ et l'interpréter géométriquement.
Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ , puis interpréter.
Montrer que pour tout $x \in] 0, + \infty [$ , $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x}$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f (1)$ .

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1 Indice 1

Pour A.1, écrivez $g(x) = 6x - 8x^{3/2} - \dfrac{1}{2}$ et dérivez terme à terme en utilisant $(x^{3/2})' = \dfrac{3}{2}x^{1/2}$.

2 Indice 2

Pour A.2, calculez le maximum de $g$ (atteint en $x=\dfrac{1}{4}$) et montrez qu'il vaut $0$.

3 Indice 3

Pour B.3, mettez $f'(x)$ au même dénominateur $\sqrt{x}$ pour faire apparaître $g(x)$ au numérateur, puis utilisez le signe de $g$ trouvé en A.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour A.1, écrivez $g (x) = 6 x - 8 x^{3/2} - \frac{1}{2}$ et dérivez terme à terme en utilisant $(x^{3/2})^{'} = \frac{3}{2} x^{1/2}$ .

Pour A.2, calculez le maximum de $g$ (atteint en $x = \frac{1}{4}$ ) et montrez qu'il vaut $0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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