Énoncé Soit f définie par f ( x ) = x 2 + x 1 − x 2 + x . Déterminer D f et calculer x → + ∞ lim f ( x ) . Calculer x → 0 + lim f ( x ) et l'interpréter géométriquement. Montrer que la droite ( Δ ) : x = − 2 1 est un axe de symétrie de ( C f ) . Étudier la branche infinie de ( C f ) en + ∞ . Résoudre dans ] 0 , + ∞ [ l'équation f ( x ) = 0 .

Fonction avec radical et symétrie

Difficile

Énoncé

Soit $f$ définie par $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + x} - x^{2} + x$ .

Déterminer $D_{f}$ et calculer $x \to + \infty lim f (x)$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et l'interpréter géométriquement.
Montrer que la droite $(Δ) : x = - \frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de $(C_{f})$ .
Étudier la branche infinie de $(C_{f})$ en $+ \infty$ .
Résoudre dans $] 0, + \infty [$ l'équation $f (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $D_f$, résous l'inéquation $x^2+x>0$ en factorisant sous la forme $x(x+1)>0$.

2 Indice 2

Pour la symétrie, mets $x^2+x$ sous forme canonique $\left(x+\dfrac12\right)^2-\dfrac14$ et compare $\varphi\!\left(-\tfrac12+x\right)$ et $\varphi\!\left(-\tfrac12-x\right)$.

3 Indice 3

Pour l'asymptote oblique, factorise $\sqrt{x^2+x}$ par $x$ et utilise la quantité conjuguée pour trouver la limite de $\sqrt{x^2+x}-x$.

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Pour $D_{f}$ , résous l'inéquation $x^{2} + x > 0$ en factorisant sous la forme $x (x + 1) > 0$ .

Pour la symétrie, mets $x^{2} + x$ sous forme canonique $(x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ et compare $φ (- \frac{1}{2} + x)$ et $φ (- \frac{1}{2} - x)$ .

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