Énoncé Soit f définie sur I = ] − 2 π , 2 3 π [ par f ( x ) = 1 + sin x cos x . Montrer que x → ( − π /2 ) + lim f ( x ) = + ∞ et x → ( 3 π /2 ) − lim f ( x ) = − ∞ , puis interpréter. Montrer que f est dérivable sur I et que f ′ ( x ) = − 1 + sin x 1 . Déterminer l'équation de la tangente ( T ) en 0 et de la tangente ( T ′ ) en 2 π . Montrer que A ( 2 π , 0 ) est un centre de symétrie de ( C f ) .

Étude d'une fonction trigonométrique

Difficile

Énoncé

Soit $f$ définie sur $I =] - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} [$ par $f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x}$ .

Montrer que $x \to (- π /2)^{+} lim f (x) = + \infty$ et $x \to (3 π /2)^{-} lim f (x) = - \infty$ , puis interpréter.
Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que $f^{'} (x) = - \frac{1}{1 + sin x}$ . Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ en $0$ et de la tangente $(T^{'})$ en $\frac{π}{2}$ .
Montrer que $A (\frac{π}{2}, 0)$ est un centre de symétrie de $(C_{f})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les limites, utilise l'astuce $\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{\cos x}$ (en multipliant par le conjugué et $\cos^2x=1-\sin^2x$) pour lever la forme $\dfrac00$.

2 Indice 2

Pour la dérivée, applique la formule du quotient et simplifie avec $\sin^2x+\cos^2x=1$ ; puis calcule $f(0)$, $f'(0)$, $f(\pi/2)$, $f'(\pi/2)$ pour les tangentes.

3 Indice 3

Pour le centre de symétrie, montre que le domaine est symétrique par rapport à $\dfrac{\pi}{2}$ puis calcule $f(\pi/2+x)+f(\pi/2-x)$ à l'aide des formules $\cos(\pi/2\pm x)=\mp\sin x$ et $\sin(\pi/2\pm x)=\cos x$.

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Pour les limites, utilise l'astuce $\frac{cos x}{1 + sin x} = \frac{1 - sin x}{cos x}$ (en multipliant par le conjugué et $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ ) pour lever la forme $\frac{0}{0}$ .

Pour la dérivée, applique la formule du quotient et simplifie avec $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ; puis calcule $f (0)$ , $f^{'} (0)$ , $f (π /2)$ , $f^{'} (π /2)$ pour les tangentes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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