Intersection courbe / tangente

Difficile
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Énoncé

Soit . On note C sa courbe et la tangente à C au point d'abscisse a.

  1. Écrire l'équation de .
  2. Montrer que recoupe C en un unique point d'abscisse (si ).
  3. Démontrer que est tangente à C en a à l'ordre 2 exactement (factorisation avec ).

Indices

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1 Indice 1
Calculez $f(a)$ et $f'(a)$ pour écrire l'équation de la tangente $T_a$ sous forme $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
2 Indice 2
Pour trouver les points d'intersection, formez $f(x) - y_T$ et factorisez cette expression : vous devez obtenir un facteur $(x-a)^2$ car $T_a$ est tangente en $a$.
3 Indice 3
Après factorisation par $(x-a)^2$, identifiez le facteur restant du premier degré pour trouver l'autre racine, en fonction de $a$.

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La méthode — par où commencer

Calculez et pour écrire l'équation de la tangente sous forme .

Pour trouver les points d'intersection, formez et factorisez cette expression : vous devez obtenir un facteur car est tangente en .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Étude complète avec paramètre Tous les exercices du chapitre Fonction racine — asymptote oblique en ±∞