Fonction f ( x ) = 1 + sin x cos x Soit f définie sur I = ] − 2 π ; 2 3 π [ par f ( x ) = 1 + sin x cos x . a. Montrer que x → − 2 π + lim f ( x ) = + ∞ et x → 2 3 π − lim f ( x ) = − ∞ . b. Interpréter géométriquement. a. Montrer que f est dérivable sur I et que pour tout x ∈ I , f ′ ( x ) = 1 + sin x − 1 . b. Dresser le tableau de variations de f . c. Déterminer l'équation de la tangente ( T ) en 0 et de la tangente ( T ′ ) en 2 π . Montrer que A ( 2 π ; 0 ) est un point d'inflexion de ( C f ) .

Fonction trigonométrique : tangentes et point d'inflexion

Difficile

Énoncé

Fonction $f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x}$

Soit $f$ définie sur $I =] - \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2} [$ par $f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x}$ .

a. Montrer que $x \to - \frac{π}{2}^{+} lim f (x) = + \infty$ et $x \to \frac{3 π}{2}^{-} lim f (x) = - \infty$ . b. Interpréter géométriquement.
a. Montrer que $f$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$ , $f^{'} (x) = \frac{- 1}{1 + sin x}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ . c. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ en $0$ et de la tangente $(T^{'})$ en $\frac{π}{2}$ .
Montrer que $A (\frac{π}{2}; 0)$ est un point d'inflexion de $(C_{f})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les limites aux bornes, regarde le signe de $1+\sin x$ (qui tend vers $0^+$) et le signe de $\cos x$ près de chaque borne.

2 Indice 2

Pour la dérivée, applique la formule du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ puis utilise $\sin^2x+\cos^2x=1$ pour simplifier.

3 Indice 3

Pour le point d'inflexion, calcule $f''(x)$ à partir de $f'(x)=-(1+\sin x)^{-1}$ et étudie son changement de signe autour de $\dfrac{\pi}{2}$.

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Pour les limites aux bornes, regarde le signe de $1 + sin x$ (qui tend vers $0^{+}$ ) et le signe de $cos x$ près de chaque borne.

Pour la dérivée, applique la formule du quotient $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ puis utilise $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ pour simplifier.

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Fonction trigonométrique : tangentes et point d'inflexion

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