لتكن الدالة f ( x ) = x − 1 − ln ( x ) المعرفة على ] 0 , + ∞ [ . ادرس تغيرات الدالة f وبين أن f ( x ) ≥ 0 لكل x > 0 . استنتج أن لكل x > 0 : ln ( x ) ≤ x − 1 . بين أن لكل n ∈ N ∗ : ln ( 1 + n 1 ) ≤ n 1 . استنتج أن k = 1 ∑ n ln ( 1 + k 1 ) ≤ k = 1 ∑ n k 1 . بين أن ln ( n + 1 ) ≤ k = 1 ∑ n k 1 واستنتج أن المتسلسلة التوافقية متباعدة.

مسألة تتضمن اللوغاريتم

Difficile

لتكن الدالة $f (x) = x - 1 - ln (x)$ المعرفة على $] 0, + \infty [$ .

ادرس تغيرات الدالة $f$ وبين أن $f (x) \geq 0$ لكل $x > 0$ .
استنتج أن لكل $x > 0$ : $ln (x) \leq x - 1$ .
بين أن لكل $n \in N^{*}$ : $ln (1 + \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}$ .
استنتج أن $k = 1 \sum n ln (1 + \frac{1}{k}) \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ .
بين أن $ln (n + 1) \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ واستنتج أن المتسلسلة التوافقية متباعدة.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

احسب $f'(x)$، ادرس إشارتها، أوجد القيمة الصغرى للدالة $f$ وقارنها بـ $0$.

2 الإرشاد 2

طبّق المتراجحة $\ln(x)\leq x-1$ على $x=1+\dfrac{1}{n}$ للحصول على السؤال 3، ثم اجمع طرفا بطرف للسؤال 4.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 5، لاحظ المجموع التلسكوبي $\sum \ln\left(\dfrac{k+1}{k}\right)=\ln(n+1)$، واستعمل كون $\ln(n+1)\to+\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

احسب $f^{'} (x)$ ، ادرس إشارتها، أوجد القيمة الصغرى للدالة $f$ وقارنها بـ $0$ .

طبّق المتراجحة $ln (x) \leq x - 1$ على $x = 1 + \frac{1}{n}$ للحصول على السؤال 3، ثم اجمع طرفا بطرف للسؤال 4.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points