Étude complète d'une fonction logarithmique (Bac)

Soit $f(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-x+1$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
2. Montrer que $f$ admet un maximum global. Le calculer.
3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha <0<\beta$.
4. On note $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Calculer $I$.
5. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\le x-1+e^{x-1}$. (Utiliser la question 3 de log-d1.)