Étude complète de f(x) = x·ln(x/(x+1)) — asymptote oblique (Bac)

Soit f définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=x\cdot \ln \left(\frac{x}{x+1}\right)$.

1. Vérifier que $\frac{x}{x+1}\in ]0,1[$ pour $x>0$ et en déduire le signe de $f(x)$.
2. Calculer les limites de f en $0^{+}$ et en $+\infty$. La courbe admet-elle une asymptote horizontale ou oblique en $+\infty$ ?
3. Calculer $f^{\prime }(x)$. Simplifier en utilisant $\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)=\ln (x)-\ln (x+1)$.
4. Dresser le tableau de variations de f sur $]0,+\infty [$.
5. Montrer que la droite $y=-1$ est asymptote oblique à la courbe en $+\infty$ et étudier la position de $C_f$ par rapport à cette asymptote.