Soit f ( x ) = x − 1 − ln ( x ) définie sur ] 0 , + ∞ [ . Étudier les variations de f et montrer que f ( x ) ≥ 0 pour tout x > 0 . En déduire que pour tout x > 0 : ln ( x ) ≤ x − 1 . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : ln ( 1 + n 1 ) ≤ n 1 . En déduire que k = 1 ∑ n ln ( 1 + k 1 ) ≤ k = 1 ∑ n k 1 . Montrer que ln ( n + 1 ) ≤ k = 1 ∑ n k 1 et en déduire que la série harmonique diverge.

Problème avec logarithme (Bac)

Difficile

Soit $f (x) = x - 1 - ln (x)$ définie sur $] 0, + \infty [$ .

Étudier les variations de f et montrer que $f (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ : $ln (x) \leq x - 1$ .
Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $ln (1 + \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}$ .
En déduire que $k = 1 \sum n ln (1 + \frac{1}{k}) \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ .
Montrer que $ln (n + 1) \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ et en déduire que la série harmonique diverge.

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1 Indice 1

Calcule $f'(x)$, étudie son signe, trouve le minimum de $f$ et compare-le à $0$.

2 Indice 2

Applique l'inégalité $\ln(x)\leq x-1$ à $x=1+\dfrac{1}{n}$ pour obtenir la question 3, puis somme membre à membre pour la question 4.

3 Indice 3

Pour la question 5, reconnais la somme télescopique $\sum \ln\left(\dfrac{k+1}{k}\right)=\ln(n+1)$, et utilise le fait que $\ln(n+1)\to+\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Calcule $f^{'} (x)$ , étudie son signe, trouve le minimum de $f$ et compare-le à $0$ .

Applique l'inégalité $ln (x) \leq x - 1$ à $x = 1 + \frac{1}{n}$ pour obtenir la question 3, puis somme membre à membre pour la question 4.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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