الجداء السلمي وتطبيقاته الهندسية

لتكن $ABC$ مثلثاً. نرمز بـ $I$ لمنتصف $[BC]$ و $H$ لمسقط الارتفاع الصادر من $A$.

1. أثبت أن $A{B}^2-A{C}^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$.
2. بوضع $M=$ منتصف $[BC]$، أثبت أن $A{B}^2-A{C}^2=2\cdot \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AM}$.
3. ليكن مثلث $ABC$ حيث $A(0,4)$، $B(-3,0)$، $C(3,0)$. احسب $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$، $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$ و $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert$. تحقق من أن المثلث متساوي الساقين.
4. أثبت أنه في مثلث متساوي الساقين ($AB=AC$)، المتوسط الصادر من $A$ هو أيضاً الارتفاع الصادر من $A$ ($\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BC}$).