Projection et perpendiculaire

Difficile
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Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,2), B(4,3) et C(2,-1).

  1. Calculer et , .
  2. En déduire l'angle .
  3. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur la droite BC.
  4. Vérifier que .

Indices

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1 Indice 1
Calcule les coordonnées des vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ à partir des coordonnées des points, puis leur produit scalaire.
2 Indice 2
Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux : utilise la formule $\\cos(\\angle BAC) = \\dfrac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}}{\\|\\overrightarrow{AB}\\|\\times\\|\\overrightarrow{AC}\\|}$.
3 Indice 3
Pour le projeté orthogonal H, paramètre la droite $(BC)$ par $P(t) = B + t\\overrightarrow{BC}$, puis impose $\\overrightarrow{AP}\\cdot\\overrightarrow{BC} = 0$ pour trouver $t$.

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La méthode — par où commencer

Calcule les coordonnées des vecteurs et à partir des coordonnées des points, puis leur produit scalaire.

Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux : utilise la formule .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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