Distance d'un point à une droite

Difficile
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Énoncé

On se place dans un repère orthonormé.

  1. Soit la droite (d) : et le point . Calculer la distance de à (d).
  2. Rappeler la formule de la distance d'un point à une droite (d) : .
  3. Trouver le pied de la perpendiculaire de sur (d) (le projeté orthogonal de sur (d)).
  4. Vérifier que est bien perpendiculaire à (d) en calculant où est un vecteur directeur de (d).

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, utilise directement la formule de distance $d(M,(d)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ avec les coefficients de la droite.
2 Indice 2
Pour trouver $H$, remarque que la droite $(PH)$ est perpendiculaire à $(d)$, donc son vecteur directeur est le vecteur normal de $(d)$, soit $(a,b)$ ; paramètre cette droite et impose qu'elle coupe $(d)$.
3 Indice 3
Pour la vérification finale, calcule le vecteur $\overrightarrow{PH}$ puis effectue son produit scalaire avec un vecteur directeur de $(d)$ ; il doit être nul.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, utilise directement la formule de distance avec les coefficients de la droite.

Pour trouver , remarque que la droite est perpendiculaire à , donc son vecteur directeur est le vecteur normal de , soit ; paramètre cette droite et impose qu'elle coupe .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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