المتتاليات الحسابية والهندسية دراسة وتطبيق مالي

تمرين — المتتاليات العددية (20 نقطة)

يدرس مقاول بالدار البيضاء خطتين للادخار على مدى n شهراً.

الجزء A — المتتالية الحسابية

تتكون الخطة A من إيداع مبلغ ثابت إضافي كل شهر. نمذذج الإيداعات الشهرية بمتتالية $(u_n)$ معرفة لكل عدد صحيح n $\ge$ 1 بما يلي:

$u_n=3n+2$ (بمئات الدراهم)

1. احسب $u_1$ و $u_2$ و $u_3$.
2. بين أن المتتالية $(u_n)$ هي متتالية حسابية يجب تحديد أساسها r وحدها الأول $u_1$.
3. عبر عن المجموع $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$ بدلالة n، ثم احسب $S_{12}$ (إجمالي الإيداع على مدى 12 شهراً).

الجزء B — المتتالية الهندسية

تقترح الخطة B رأسمالاً أولياً قدره 500 درهم، تتم إعادة تقييمه كل شهر بنسبة 2 %. نمذذج الرأسمال المتاح في نهاية الشهر n-م بمتتالية $(v_n)$ المعرفة بما يلي:

$v_1=500\times 1,02$ و $v_{n+1}=1,02\times v_n$، لكل n $\ge$ 1.

1. بين أن $(v_n)$ هي متتالية هندسية يجب تحديد أساسها q وحدها الأول $v_1$.
2. عبر عن $v_n$ بدلالة n.
3. احسب $v_{12}$ (أعط قيمة مقربة إلى الوحدة؛ نفترض أن $1,02^{12}\approx 1,2682$).

الجزء C — مقارنة واستدلال

نعرف المتتالية $(w_n)$ بـ $w_n=v_n/u_n$ لكل n $\ge$ 1.

1. بين أن $w_1=510/5=102$.
2. ادرس إشارة $w_{n+1}-w_n$ بدلالة إشارة $1,02\times u_n-u_{n+1}$، ثم استنتج رتابة $(w_n)$.
   نذكر أن $u_n=3n+2$ و $v_{n+1}=1,02v_n$.
3. فسر النتيجة المحصل عليها في سياق المقاول.