Étude d'une suite définie par récurrence et monotonie

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

On considère la suite

(w_{n})

définie par :

w_{0} = 1

et pour tout

n \in N

w_{n + 1} = (w_{n})^{2} + w_{n} - 1

. On définit

(a_{n})

par

a_{n} = w_{n} - 1

. Calculer

w_{1}

w_{2}

w_{3}

. Montrer que

w_{n + 1} - w_{n} = (w_{n})^{2} - 1

et en déduire le sens de variation de

(w_{n})

à partir du rang 1. Montrer que

a_{n + 1} = a_{n} (a_{n} + 3)

. En déduire que si

a_{0} \geq 0

, alors

a_{n} \geq 0

pour tout

n

. Montrer par récurrence que

w_{n} \geq 1

pour tout

n \in N

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour calculer les premiers termes, applique directement la formule de récurrence : remplace $w_n$ par sa valeur dans $w_{n+1} = (w_n)^2 + w_n - 1$. Commence avec $w_0 = 1$ pour trouver $w_1$.

2 Indice 2

Pour montrer que $w_{n+1} - w_n = (w_n)^2 - 1$, écris la différence $w_{n+1} - w_n = (w_n)^2 + w_n - 1 - w_n$ et simplifie. Que peux-tu dire du signe de $(w_n)^2 - 1$ si $w_n \geq 1$ ?

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Pour calculer les premiers termes, applique directement la formule de récurrence : remplace $w_{n}$ par sa valeur dans $w_{n + 1} = (w_{n})^{2} + w_{n} - 1$ . Commence avec $w_{0} = 1$ pour trouver $w_{1}$ .

Pour montrer que $w_{n + 1} - w_{n} = (w_{n})^{2} - 1$ , écris la différence $w_{n + 1} - w_{n} = (w_{n})^{2} + w_{n} - 1 - w_{n}$ et simplifie. Que peux-tu dire du signe de $(w_{n})^{2} - 1$ si $w_{n} \geq 1$ ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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