Suites arithmétique et géométrique — Étude complète et application financière

Exercice — Suites numériques (20 points)

Un entrepreneur à Casablanca étudie deux plans d'épargne sur n mois.

Partie A — Suite arithmétique

Le plan A consiste à déposer chaque mois une somme fixe supplémentaire. On modélise les dépôts mensuels par une suite $(u_n)$ définie pour tout entier n $\ge$ 1 par :

$u_n=3n+2$ (en centaines de dirhams)

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison r et le premier terme $u_1$.
3. Exprimer la somme $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$ en fonction de n, puis calculer $S_{12}$ (dépôt total sur 12 mois).

Partie B — Suite géométrique

Le plan B propose un capital initial de 500 dirhams, revalorisé chaque mois de 2 %. On modélise le capital disponible en fin du n-ième mois par la suite $(v_n)$ définie par :

$v_1=500\times 1,02$ et $v_{n+1}=1,02\times v_n$, pour tout n $\ge$ 1.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le premier terme $v_1$.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
3. Calculer $v_{12}$ (on donnera une valeur approchée à l'unité près ; on admet que $1,02^{12}\approx 1,2682$).

Partie C — Comparaison et raisonnement

On définit la suite $(w_n)$ par $w_n=v_n/u_n$ pour tout n $\ge$ 1.

1. Montrer que $w_1=510/5=102$.
2. Étudier le signe de $w_{n+1}-w_n$ en fonction du signe de $1,02\times u_n-u_{n+1}$, puis conclure sur la monotonie de $(w_n)$.
   On rappelle que $u_n=3n+2$ et $v_{n+1}=1,02v_n$.
3. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'entrepreneur.