متتالية حسابية هندسية ومجموع جزئي

التمرين 6 — متتالية حسابية-هندسية

نعتبر المتتالية $(p_n)$ المعرفة بما يلي: $p_0=1$ ولكل عدد صحيح طبيعي $n$ :

$p_{n+1}=2p_n+3$.

1. احسب $p_1$ و $p_2$ و $p_3$.
2. نبحث عن عدد حقيقي $\ell$ بحيث تكون المتتالية $(q_n)$ المعرفة بـ $q_n=p_n-\ell$ متتالية هندسية.
   أ) بالتعويض في علاقة الترجع، حدد قيمة $\ell$.
   ب) بين أن $(q_n)$ هي بالفعل متتالية هندسية مع تحديد أساسها وحدها الأول.
   ج) عبر عن $q_n$ ثم عن $p_n$ بدلالة $n$.
3. بين بالترجع أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n$، لدينا $p_n\ge 1$.
4. احسب المجموع $S_n=p_0+p_1+\dots +p_n$ بدلالة $n$.