Soit ( u n ) définie par u 0 = 1/2 et u n + 1 = u n ( 1 − u n ) . Montrer que 0 < u n < 1 pour tout n. Montrer que u n + 1 ≤ 1/4 pour tout n ≥ 1 . Montrer que ( u n ) est décroissante à partir du rang 1. La suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?

Suite récurrente et encadrement

Difficile

Soit ( $u_{n}$ ) définie par $u_{0} = 1/2$ et $u_{n + 1} = u_{n} (1 - u_{n})$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour 1), procède par récurrence en utilisant le fait que la fonction $x\\mapsto x(1-x)$ atteint son maximum $1/4$ sur $[0,1]$.

2 Indice 2

Pour 2), utilise l'inégalité arithmético-géométrique $u_n(1-u_n)\\leq\\left(\\dfrac{u_n+(1-u_n)}{2}\\right)^2$.

3 Indice 3

Pour 3) et 4), étudie le rapport $u_{n+1}/u_n=1-u_n$ pour la monotonie, puis résous $\\ell=\\ell(1-\\ell)$ pour la limite.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1), procède par récurrence en utilisant le fait que la fonction $x ma p s t o x (1 - x)$ atteint son maximum $1/4$ sur $[0, 1]$ .

Pour 2), utilise l'inégalité arithmético-géométrique $u_{n} (1 - u_{n}) l e q l e f t (df r a c u_{n} + (1 - u_{n}) 2 r i g h t)^{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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