Soit f ( x ) = 2 x + x 1 et ( u n ) définie par u 0 = 3 , u n + 1 = f ( u n ) pour tout n ∈ N . Montrer que pour tout x > 0 , f ( x ) ≥ 2 (utiliser l'inégalité arithmético-géométrique). Montrer par récurrence que u n ≥ 2 pour tout n ≥ 1 . Montrer que u n + 1 − u n = 2 u n 2 − u n 2 . En déduire que ( u n ) est décroissante pour n ≥ 1 . Conclure sur la convergence et calculer la limite.

Suite définie par récurrence : étude complète

Difficile

Soit $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$ et $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ , $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

Montrer que pour tout $x > 0$ , $f (x) \geq 2$ (utiliser l'inégalité arithmético-géométrique).
Montrer par récurrence que $u_{n} \geq 2$ pour tout $n \geq 1$ .
Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 - u _{n}^{2}}{2 u _{n}}$ . En déduire que $(u_{n})$ est décroissante pour $n \geq 1$ .
Conclure sur la convergence et calculer la limite.

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, applique l'inegalite arithmetico-geometrique a $\dfrac{x}{2}$ et $\dfrac{1}{x}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, verifie l'initialisation avec $u_1=f(u_0)$, puis utilise le resultat de la question 1 pour l'heredite.

3 Indice 3

Pour la question 3, calcule $u_{n+1}-u_n$ en reduisant au meme denominateur, puis utilise $u_n^2 \geq 2$ pour conclure sur le signe.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, applique l'inegalite arithmetico-geometrique a $\frac{x}{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

Pour la question 2, verifie l'initialisation avec $u_{1} = f (u_{0})$ , puis utilise le resultat de la question 1 pour l'heredite.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points