On pose pour tout n ∈ N ∗ : u n = 1 + 1 ! 1 + 2 ! 1 + ⋯ + n ! 1 et v n = u n + n ⋅ n ! 1 Montrer que ( u n ) est strictement croissante. Montrer que ( v n ) est strictement décroissante (on pourra calculer v n + 1 − v n ). Montrer que n → + ∞ lim ( v n − u n ) = 0 . En déduire que les suites ( u n ) et ( v n ) convergent vers la même limite (cette limite est notée e ≈ 2.718).

Suites adjacentes — constante e

Difficile

On pose pour tout n $\in$ $N^{*}$ :

$u_{n} = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}$ et $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$

Montrer que $(u_{n})$ est strictement croissante.
Montrer que $(v_{n})$ est strictement décroissante (on pourra calculer $v_{n + 1} - v_{n}$ ).
Montrer que $n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .
En déduire que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers la même limite (cette limite est notée e ≈ 2.718).

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la croissance de $(u_n)$, calcule simplement $u_{n+1} - u_n$ : que reste-t-il ?

2 Indice 2

Pour $(v_n)$, calcule $v_{n+1} - v_n$ en mettant tout au même dénominateur $n(n+1)(n+1)!$.

3 Indice 3

Pour la question 3, exprime $v_n - u_n$ directement à partir de la définition de $v_n$, puis fais tendre $n$ vers $+\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la croissance de $(u_{n})$ , calcule simplement $u_{n + 1} - u_{n}$ : que reste-t-il ?

Pour $(v_{n})$ , calcule $v_{n + 1} - v_{n}$ en mettant tout au même dénominateur $n (n + 1) (n + 1)!$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points